Theorem elcnv 4512

Description: Membership in a converse. Equation 5 of [Suppes] p. 62. (Contributed by NM, 24-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elcnv	|- ( A e. `' R <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ y R x ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, R, y

Proof of Theorem elcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cnv 4353	. . 3 |- `' R = { <. x , y >. | y R x }
2	1	eleq2i 2104	. 2 |- ( A e. `' R <-> A e. { <. x , y >. | y R x } )
3		elopab 3995	. 2 |- ( A e. { <. x , y >. | y R x } <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ y R x ) )
4	2, 3	bitri 173	1 |- ( A e. `' R <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ y R x ) )

Syntax hints:   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   <.cop 3378   class class class wbr 3764   {copab 3817   `'ccnv 4344

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-opab 3819  df-cnv 4353

This theorem is referenced by:  elcnv2  4513