Theorem dfse2 4698

Description: Alternate definition of set-like relation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfse2	|- ( R Se A <-> A. x e. A ( A i^i ( `' R " { x } ) ) e. _V )

Distinct variable groups:   x, A   x, R

Proof of Theorem dfse2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-se 4070	. 2 |- ( R Se A <-> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
2		dfrab3 3213	. . . . 5 |- { y e. A | y R x } = ( A i^i { y | y R x } )
3		vex 2560	. . . . . . 7 |- x e. _V
4		iniseg 4697	. . . . . . 7 |- ( x e. _V -> ( `' R " { x } ) = { y | y R x } )
5	3, 4	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ( `' R " { x } ) = { y | y R x }
6	5	ineq2i 3135	. . . . 5 |- ( A i^i ( `' R " { x } ) ) = ( A i^i { y | y R x } )
7	2, 6	eqtr4i 2063	. . . 4 |- { y e. A | y R x } = ( A i^i ( `' R " { x } ) )
8	7	eleq1i 2103	. . 3 |- ( { y e. A | y R x } e. _V <-> ( A i^i ( `' R " { x } ) ) e. _V )
9	8	ralbii 2330	. 2 |- ( A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V <-> A. x e. A ( A i^i ( `' R " { x } ) ) e. _V )
10	1, 9	bitri 173	1 |- ( R Se A <-> A. x e. A ( A i^i ( `' R " { x } ) ) e. _V )

Syntax hints:   <-> wb 98   = wceq 1243   e. wcel 1393   {cab 2026   A.wral 2306   {crab 2310   _Vcvv 2557   i^i cin 2916   {csn 3375   class class class wbr 3764   Se wse 4066   `'ccnv 4344   "cima 4348

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-se 4070  df-xp 4351  df-cnv 4353  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358

This theorem is referenced by:  isoselem  5459