ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exse2 Unicode version

Theorem exse2 4699
Description: Any set relation is set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
exse2  |-  ( R  e.  V  ->  R Se  A )

Proof of Theorem exse2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2315 . . . . 5  |-  { y  e.  A  |  y R x }  =  { y  |  ( y  e.  A  /\  y R x ) }
2 vex 2560 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
3 vex 2560 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
42, 3breldm 4539 . . . . . . 7  |-  ( y R x  ->  y  e.  dom  R )
54adantl 262 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  y R x )  -> 
y  e.  dom  R
)
65abssi 3015 . . . . 5  |-  { y  |  ( y  e.  A  /\  y R x ) }  C_  dom  R
71, 6eqsstri 2975 . . . 4  |-  { y  e.  A  |  y R x }  C_  dom  R
8 dmexg 4596 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  dom  R  e.  _V )
9 ssexg 3896 . . . 4  |-  ( ( { y  e.  A  |  y R x }  C_  dom  R  /\  dom  R  e.  _V )  ->  { y  e.  A  |  y R x }  e.  _V )
107, 8, 9sylancr 393 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  { y  e.  A  |  y R x }  e.  _V )
1110ralrimivw 2393 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  A. x  e.  A  { y  e.  A  |  y R x }  e.  _V )
12 df-se 4070 . 2  |-  ( R Se  A  <->  A. x  e.  A  { y  e.  A  |  y R x }  e.  _V )
1311, 12sylibr 137 1  |-  ( R  e.  V  ->  R Se  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    e. wcel 1393   {cab 2026   A.wral 2306   {crab 2310   _Vcvv 2557    C_ wss 2917   class class class wbr 3764   Se wse 4066   dom cdm 4345
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-se 4070  df-cnv 4353  df-dm 4355  df-rn 4356
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator