Theorem brabsb 3998

Description: The law of concretion in terms of substitutions. (Contributed by NM, 17-Mar-2008.)

Hypothesis

Ref	Expression
brabsb.1	|- R = { <. x , y >. | ph }

Assertion

Ref	Expression
brabsb	|- ( A R B <-> [. A / x ]. [. B / y ]. ph )

Distinct variable groups:   x, y   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x, y)   B( y)   R( x, y)

Proof of Theorem brabsb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 3765	. 2 |- ( A R B <-> <. A , B >. e. R )
2		brabsb.1	. . 3 |- R = { <. x , y >. | ph }
3	2	eleq2i 2104	. 2 |- ( <. A , B >. e. R <-> <. A , B >. e. { <. x , y >. | ph } )
4		opelopabsb 3997	. 2 |- ( <. A , B >. e. { <. x , y >. | ph } <-> [. A / x ]. [. B / y ]. ph )
5	1, 3, 4	3bitri 195	1 |- ( A R B <-> [. A / x ]. [. B / y ]. ph )

Syntax hints:   <-> wb 98   = wceq 1243   e. wcel 1393   [.wsbc 2764   <.cop 3378   class class class wbr 3764   {copab 3817

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819

This theorem is referenced by:  eqerlem  6137