ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opelopabsb Structured version   Unicode version

Theorem opelopabsb 3988
Description: The law of concretion in terms of substitutions. (Contributed by NM, 30-Sep-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
opelopabsb  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  }  [.  ]. [.  ].
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem opelopabsb
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elopab 3986 . . . 4  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  }  <. ,  >.  <. ,  >.
2 simpl 102 . . . . . . . 8 
<. ,  >. 
<. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >.
32eqcomd 2042 . . . . . . 7 
<. ,  >. 
<. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >.
4 vex 2554 . . . . . . . 8 
_V
5 vex 2554 . . . . . . . 8 
_V
64, 5opth 3965 . . . . . . 7  <. ,  >.  <. ,  >.
73, 6sylib 127 . . . . . 6 
<. ,  >. 
<. ,  >.
872eximi 1489 . . . . 5  <. ,  >.  <. ,  >.
9 eeanv 1804 . . . . . 6
10 isset 2555 . . . . . . 7  _V
11 isset 2555 . . . . . . 7  _V
1210, 11anbi12i 433 . . . . . 6  _V  _V
139, 12bitr4i 176 . . . . 5  _V  _V
148, 13sylib 127 . . . 4  <. ,  >.  <. ,  >.  _V  _V
151, 14sylbi 114 . . 3  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  }  _V  _V
16 nfv 1418 . . . 4  F/
17 nfv 1418 . . . 4  F/
18 nfs1v 1812 . . . 4  F/
19 nfs1v 1812 . . . . 5  F/
2019nfsbxy 1815 . . . 4  F/
21 sbequ12 1651 . . . . 5
22 sbequ12 1651 . . . . 5
2321, 22sylan9bbr 436 . . . 4
2416, 17, 18, 20, 23cbvopab 3819 . . 3  { <. ,  >.  |  }  { <. ,  >.  |  }
2515, 24eleq2s 2129 . 2  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  }  _V  _V
26 sbcex 2766 . . 3  [.  ]. [.  ].  _V
27 spesbc 2837 . . . 4  [.  ]. [.  ].  [.  ].
28 sbcex 2766 . . . . 5  [.  ].  _V
2928exlimiv 1486 . . . 4  [.  ].  _V
3027, 29syl 14 . . 3  [.  ]. [.  ].  _V
3126, 30jca 290 . 2  [.  ]. [.  ].  _V  _V
32 opeq1 3540 . . . . 5  <. ,  >.  <. ,  >.
3332eleq1d 2103 . . . 4  <. ,  >. 
{ <. , 
>.  |  }  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  }
34 dfsbcq2 2761 . . . 4  [.  ].
3533, 34bibi12d 224 . . 3  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  }  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  }  [.  ].
36 opeq2 3541 . . . . 5  <. ,  >.  <. ,  >.
3736eleq1d 2103 . . . 4  <. ,  >. 
{ <. , 
>.  |  }  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  }
38 dfsbcq2 2761 . . . . 5  [.  ].
3938sbcbidv 2811 . . . 4  [.  ].  [.  ]. [.  ].
4037, 39bibi12d 224 . . 3  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  }  [.  ].  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  }  [.  ]. [.  ].
41 nfopab1 3817 . . . . . 6  F/_ { <. , 
>.  |  }
4241nfel2 2187 . . . . 5  F/ <. ,  >. 
{ <. , 
>.  |  }
43 nfs1v 1812 . . . . 5  F/
4442, 43nfbi 1478 . . . 4  F/ <. ,  >.  { <. ,  >.  |  }
45 opeq1 3540 . . . . . 6  <. ,  >.  <. ,  >.
4645eleq1d 2103 . . . . 5  <. ,  >. 
{ <. , 
>.  |  }  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  }
47 sbequ12 1651 . . . . 5
4846, 47bibi12d 224 . . . 4  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  }  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  }
49 nfopab2 3818 . . . . . . 7  F/_ { <. , 
>.  |  }
5049nfel2 2187 . . . . . 6  F/
<. ,  >. 
{ <. , 
>.  |  }
51 nfs1v 1812 . . . . . 6  F/
5250, 51nfbi 1478 . . . . 5  F/ <. ,  >.  { <. ,  >.  |  }
53 opeq2 3541 . . . . . . 7  <. ,  >.  <. ,  >.
5453eleq1d 2103 . . . . . 6  <. ,  >. 
{ <. , 
>.  |  }  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  }
55 sbequ12 1651 . . . . . 6
5654, 55bibi12d 224 . . . . 5  <. , 
>.  { <. ,  >.  |  }  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  }
57 opabid 3985 . . . . 5  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  }
5852, 56, 57chvar 1637 . . . 4  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  }
5944, 48, 58chvar 1637 . . 3  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  }
6035, 40, 59vtocl2g 2611 . 2  _V  _V  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  }  [.  ]. [.  ].
6125, 31, 60pm5.21nii 619 1  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  }  [.  ]. [.  ].
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wb 98   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wsb 1642   _Vcvv 2551   [.wsbc 2758   <.cop 3370   {copab 3808
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-opab 3810
This theorem is referenced by:  brabsb  3989  opelopabaf  4001  opelopabf  4002  difopab  4412  isarep1  4928
  Copyright terms: Public domain W3C validator