Theorem npcan 10169

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 10159	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		simpr 476	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 10117	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
4		pncan3 10168	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
5	4	ancoms 468	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2644	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   + caddc 9818   − cmin 10145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147

This theorem is referenced by:  addsubass  10170  npncan  10181  nppcan  10182  nnpcan  10183  subcan2  10185  nnncan  10195  npcand  10275  nn1suc  10918  zlem1lt  11306  zltlem1  11307  peano5uzi  11342  nummac  11434  uzp1  11597  peano2uzr  11619  qbtwnre  11904  fz01en  12240  fzsuc2  12268  fseq1m1p1  12284  predfz  12333  fzoss2  12365  fzoaddel2  12391  fzosplitsnm1  12409  fzosplitprm1  12443  fldiv  12521  modfzo0difsn  12604  seqm1  12680  monoord2  12694  sermono  12695  seqf1olem1  12702  seqf1olem2  12703  seqz  12711  expm1t  12750  expubnd  12783  bcm1k  12964  bcn2  12968  hashfzo  13076  hashbclem  13093  hashf1  13098  seqcoll  13105  addlenrevswrd  13289  swrdfv2  13298  swrdspsleq  13301  swrdlsw  13304  cshwlen  13396  cshwidxmod  13400  cshwidxmodr  13401  cshwidxm  13405  swrd2lsw  13543  shftlem  13656  shftfval  13658  seqshft  13673  iserex  14235  serf0  14259  iseralt  14263  sumrblem  14289  fsumm1  14324  mptfzshft  14352  binomlem  14400  binom1dif  14404  isumsplit  14411  climcndslem1  14420  binomrisefac  14612  bpolycl  14622  bpolysum  14623  bpolydiflem  14624  bpoly2  14627  bpoly3  14628  fsumcube  14630  ruclem12  14809  dvdssub2  14861  4sqlem19  15505  vdwapun  15516  vdwapid1  15517  vdwlem5  15527  vdwlem8  15530  vdwnnlem2  15538  ramub1lem2  15569  1259lem4  15679  1259prm  15681  2503prm  15685  4001prm  15690  gsumccat  17201  sylow1lem1  17836  efgsres  17974  efgredleme  17979  gsummptshft  18159  icccvx  22557  reparphti  22605  ovolunlem1  23072  advlog  24200  cxpaddlelem  24292  ang180lem1  24339  ang180lem3  24341  asinlem2  24396  tanatan  24446  ppiub  24729  perfect1  24753  lgsquad2lem1  24909  rplogsumlem1  24973  selberg2lem  25039  logdivbnd  25045  pntrsumo1  25054  pntrsumbnd2  25056  ax5seglem3  25611  ax5seglem5  25613  axbtwnid  25619  axlowdimlem16  25637  axeuclidlem  25642  axcontlem2  25645  eupares  26502  numclwwlkovf2ex  26613  cvmliftlem7  30527  nndivsub  31626  ltflcei  32567  itg2addnclem3  32633  mettrifi  32723  irrapxlem1  36404  rmspecsqrtnq  36488  rmspecsqrtnqOLD  36489  jm2.24nn  36544  jm2.18  36573  jm2.23  36581  jm2.27c  36592  itgsinexp  38846  bgoldbwt  40199  evengpop3  40214  evengpoap3  40215  addlenrevpfx  40260  2elfz2melfz  40355  crctcsh1wlkn0lem6  41018  eucrctshift  41411  av-numclwwlkovf2ex  41517  zlmodzxzsub  41931