Theorem swrdlsw 13304

Description: Extract the last single symbol from a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrdlsw	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)⟩) = ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩)

Proof of Theorem swrdlsw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashneq0 13016	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (#‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
2		lencl 13179	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
3		nn0z 11277	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
4		elnnz 11264	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 0 < (#‘𝑊)))
5		fzo0end 12426	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
6	4, 5	sylbir 224	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 0 < (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
7	6	ex 449	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (0 < (#‘𝑊) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))))
8	2, 3, 7	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (#‘𝑊) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))))
9	1, 8	sylbird 249	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ≠ ∅ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))))
10	9	imp 444	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
11		swrds1 13303	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (((#‘𝑊) − 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 1))”⟩)
12	10, 11	syldan 486	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (((#‘𝑊) − 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 1))”⟩)
13		nn0cn 11179	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
14		ax-1cn 9873	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
15	13, 14	jctir 559	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
16		npcan 10169	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((#‘𝑊) − 1) + 1) = (#‘𝑊))
17	16	eqcomd 2616	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (#‘𝑊) = (((#‘𝑊) − 1) + 1))
18	2, 15, 17	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) = (((#‘𝑊) − 1) + 1))
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) = (((#‘𝑊) − 1) + 1))
20	19	opeq2d 4347	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ⟨((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)⟩ = ⟨((#‘𝑊) − 1), (((#‘𝑊) − 1) + 1)⟩)
21	20	oveq2d 6565	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (((#‘𝑊) − 1) + 1)⟩))
22		lsw 13204	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
23	22	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
24	23	s1eqd 13234	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 1))”⟩)
25	12, 21, 24	3eqtr4d 2654	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)⟩) = ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147  ⟨“cs1 13149   substr csubstr 13150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-s1 13157  df-substr 13158

This theorem is referenced by:  2swrd1eqwrdeq  13306  pfxsuff1eqwrdeq  40270  pfxlswccat  40283