Theorem r2alf 2341

Description: Double restricted universal quantification. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
r2alf.1	⊢ Ⅎ𝑦𝐴

Assertion

Ref	Expression
r2alf	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝜑))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem r2alf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2311	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
2		r2alf.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
3	2	nfcri 2172	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝐴
4	3	19.21 1475	. . . 4 ⊢ (∀𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → 𝜑)))
5		impexp 250	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝜑)))
6	5	albii 1359	. . . 4 ⊢ (∀𝑦((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝜑) ↔ ∀𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝜑)))
7		df-ral 2311	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → 𝜑))
8	7	imbi2i 215	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → 𝜑)))
9	4, 6, 8	3bitr4i 201	. . 3 ⊢ (∀𝑦((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
10	9	albii 1359	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
11	1, 10	bitr4i 176	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∀wal 1241   ∈ wcel 1393  Ⅎwnfc 2165  ∀wral 2306

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-nf 1350  df-sb 1646  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311

This theorem is referenced by:  r2al  2343  ralcomf  2471