Theorem undif4 3284

Description: Distribute union over difference. (Contributed by NM, 17-May-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
undif4	|- ( ( A i^i C ) = (/) -> ( A u. ( B \ C ) ) = ( ( A u. B ) \ C ) )

Proof of Theorem undif4

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2.621 666	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A -> -. x e. C ) -> ( ( x e. A \/ -. x e. C ) -> -. x e. C ) )
2		olc 632	. . . . . . 7 |- ( -. x e. C -> ( x e. A \/ -. x e. C ) )
3	1, 2	impbid1 130	. . . . . 6 |- ( ( x e. A -> -. x e. C ) -> ( ( x e. A \/ -. x e. C ) <-> -. x e. C ) )
4	3	anbi2d 437	. . . . 5 |- ( ( x e. A -> -. x e. C ) -> ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( x e. A \/ -. x e. C ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ -. x e. C ) ) )
5		eldif 2927	. . . . . . 7 |- ( x e. ( B \ C ) <-> ( x e. B /\ -. x e. C ) )
6	5	orbi2i 679	. . . . . 6 |- ( ( x e. A \/ x e. ( B \ C ) ) <-> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
7		ordi 729	. . . . . 6 |- ( ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( x e. A \/ -. x e. C ) ) )
8	6, 7	bitri 173	. . . . 5 |- ( ( x e. A \/ x e. ( B \ C ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( x e. A \/ -. x e. C ) ) )
9		elun 3084	. . . . . 6 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
10	9	anbi1i 431	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ -. x e. C ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ -. x e. C ) )
11	4, 8, 10	3bitr4g 212	. . . 4 |- ( ( x e. A -> -. x e. C ) -> ( ( x e. A \/ x e. ( B \ C ) ) <-> ( x e. ( A u. B ) /\ -. x e. C ) ) )
12		elun 3084	. . . 4 |- ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) <-> ( x e. A \/ x e. ( B \ C ) ) )
13		eldif 2927	. . . 4 |- ( x e. ( ( A u. B ) \ C ) <-> ( x e. ( A u. B ) /\ -. x e. C ) )
14	11, 12, 13	3bitr4g 212	. . 3 |- ( ( x e. A -> -. x e. C ) -> ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) <-> x e. ( ( A u. B ) \ C ) ) )
15	14	alimi 1344	. 2 |- ( A. x ( x e. A -> -. x e. C ) -> A. x ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) <-> x e. ( ( A u. B ) \ C ) ) )
16		disj1 3270	. 2 |- ( ( A i^i C ) = (/) <-> A. x ( x e. A -> -. x e. C ) )
17		dfcleq 2034	. 2 |- ( ( A u. ( B \ C ) ) = ( ( A u. B ) \ C ) <-> A. x ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) <-> x e. ( ( A u. B ) \ C ) ) )
18	15, 16, 17	3imtr4i 190	1 |- ( ( A i^i C ) = (/) -> ( A u. ( B \ C ) ) = ( ( A u. B ) \ C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   \/ wo 629   A.wal 1241   = wceq 1243   e. wcel 1393   \ cdif 2914   u. cun 2915   i^i cin 2916   (/)c0 3224

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-nul 3225

This theorem is referenced by:  phplem1  6315