Theorem ssconb 3076

Description: Contraposition law for subsets. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ssconb	|- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( A C_ ( C \ B ) <-> B C_ ( C \ A ) ) )

Proof of Theorem ssconb

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2939	. . . . . . 7 |- ( A C_ C -> ( x e. A -> x e. C ) )
2		ssel 2939	. . . . . . 7 |- ( B C_ C -> ( x e. B -> x e. C ) )
3		pm5.1 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. B -> x e. C ) ) -> ( ( x e. A -> x e. C ) <-> ( x e. B -> x e. C ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 273	. . . . . 6 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( ( x e. A -> x e. C ) <-> ( x e. B -> x e. C ) ) )
5		con2b 593	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A -> -. x e. B ) <-> ( x e. B -> -. x e. A ) )
6	5	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( ( x e. A -> -. x e. B ) <-> ( x e. B -> -. x e. A ) ) )
7	4, 6	anbi12d 442	. . . . 5 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. A -> -. x e. B ) ) <-> ( ( x e. B -> x e. C ) /\ ( x e. B -> -. x e. A ) ) ) )
8		jcab 535	. . . . 5 |- ( ( x e. A -> ( x e. C /\ -. x e. B ) ) <-> ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. A -> -. x e. B ) ) )
9		jcab 535	. . . . 5 |- ( ( x e. B -> ( x e. C /\ -. x e. A ) ) <-> ( ( x e. B -> x e. C ) /\ ( x e. B -> -. x e. A ) ) )
10	7, 8, 9	3bitr4g 212	. . . 4 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( ( x e. A -> ( x e. C /\ -. x e. B ) ) <-> ( x e. B -> ( x e. C /\ -. x e. A ) ) ) )
11		eldif 2927	. . . . 5 |- ( x e. ( C \ B ) <-> ( x e. C /\ -. x e. B ) )
12	11	imbi2i 215	. . . 4 |- ( ( x e. A -> x e. ( C \ B ) ) <-> ( x e. A -> ( x e. C /\ -. x e. B ) ) )
13		eldif 2927	. . . . 5 |- ( x e. ( C \ A ) <-> ( x e. C /\ -. x e. A ) )
14	13	imbi2i 215	. . . 4 |- ( ( x e. B -> x e. ( C \ A ) ) <-> ( x e. B -> ( x e. C /\ -. x e. A ) ) )
15	10, 12, 14	3bitr4g 212	. . 3 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( ( x e. A -> x e. ( C \ B ) ) <-> ( x e. B -> x e. ( C \ A ) ) ) )
16	15	albidv 1705	. 2 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( A. x ( x e. A -> x e. ( C \ B ) ) <-> A. x ( x e. B -> x e. ( C \ A ) ) ) )
17		dfss2 2934	. 2 |- ( A C_ ( C \ B ) <-> A. x ( x e. A -> x e. ( C \ B ) ) )
18		dfss2 2934	. 2 |- ( B C_ ( C \ A ) <-> A. x ( x e. B -> x e. ( C \ A ) ) )
19	16, 17, 18	3bitr4g 212	1 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( A C_ ( C \ B ) <-> B C_ ( C \ A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   A.wal 1241   e. wcel 1393   \ cdif 2914   C_ wss 2917

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-dif 2920  df-in 2924  df-ss 2931

This theorem is referenced by: (None)