Theorem rexrnmpt2 5616

Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngop.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
ralrnmpt2.2	|- ( z = C -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rexrnmpt2	|- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( E. z e. ran F ph <-> E. x e. A E. y e. B ps ) )

Distinct variable groups:   y, z, A   z, B   z, C   z, F   ps, z   x, y, z   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   ps( x, y)   A( x)   B( x, y)   C( x, y)   F( x, y)   V( x, y, z)

Proof of Theorem rexrnmpt2

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngop.1	. . . . 5 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	rnmpt2 5611	. . . 4 |- ran F = { w | E. x e. A E. y e. B w = C }
3	2	rexeqi 2510	. . 3 |- ( E. z e. ran F ph <-> E. z e. { w | E. x e. A E. y e. B w = C } ph )
4		eqeq1 2046	. . . . 5 |- ( w = z -> ( w = C <-> z = C ) )
5	4	2rexbidv 2349	. . . 4 |- ( w = z -> ( E. x e. A E. y e. B w = C <-> E. x e. A E. y e. B z = C ) )
6	5	rexab 2703	. . 3 |- ( E. z e. { w | E. x e. A E. y e. B w = C } ph <-> E. z ( E. x e. A E. y e. B z = C /\ ph ) )
7		rexcom4 2577	. . . 4 |- ( E. x e. A E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. z E. x e. A ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
8		r19.41v 2466	. . . . 5 |- ( E. x e. A ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> ( E. x e. A E. y e. B z = C /\ ph ) )
9	8	exbii 1496	. . . 4 |- ( E. z E. x e. A ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. z ( E. x e. A E. y e. B z = C /\ ph ) )
10	7, 9	bitr2i 174	. . 3 |- ( E. z ( E. x e. A E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. x e. A E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
11	3, 6, 10	3bitri 195	. 2 |- ( E. z e. ran F ph <-> E. x e. A E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
12		rexcom4 2577	. . . . . 6 |- ( E. y e. B E. z ( z = C /\ ph ) <-> E. z E. y e. B ( z = C /\ ph ) )
13		r19.41v 2466	. . . . . . 7 |- ( E. y e. B ( z = C /\ ph ) <-> ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
14	13	exbii 1496	. . . . . 6 |- ( E. z E. y e. B ( z = C /\ ph ) <-> E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
15	12, 14	bitri 173	. . . . 5 |- ( E. y e. B E. z ( z = C /\ ph ) <-> E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) )
16		ralrnmpt2.2	. . . . . . . 8 |- ( z = C -> ( ph <-> ps ) )
17	16	ceqsexgv 2673	. . . . . . 7 |- ( C e. V -> ( E. z ( z = C /\ ph ) <-> ps ) )
18	17	ralimi 2384	. . . . . 6 |- ( A. y e. B C e. V -> A. y e. B ( E. z ( z = C /\ ph ) <-> ps ) )
19		rexbi 2446	. . . . . 6 |- ( A. y e. B ( E. z ( z = C /\ ph ) <-> ps ) -> ( E. y e. B E. z ( z = C /\ ph ) <-> E. y e. B ps ) )
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( A. y e. B C e. V -> ( E. y e. B E. z ( z = C /\ ph ) <-> E. y e. B ps ) )
21	15, 20	syl5bbr 183	. . . 4 |- ( A. y e. B C e. V -> ( E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. y e. B ps ) )
22	21	ralimi 2384	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> A. x e. A ( E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. y e. B ps ) )
23		rexbi 2446	. . 3 |- ( A. x e. A ( E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. y e. B ps ) -> ( E. x e. A E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. x e. A E. y e. B ps ) )
24	22, 23	syl 14	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( E. x e. A E. z ( E. y e. B z = C /\ ph ) <-> E. x e. A E. y e. B ps ) )
25	11, 24	syl5bb 181	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( E. z e. ran F ph <-> E. x e. A E. y e. B ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   {cab 2026   A.wral 2306   E.wrex 2307   ran crn 4346   |-> cmpt2 5514

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-cnv 4353  df-dm 4355  df-rn 4356  df-oprab 5516  df-mpt2 5517

This theorem is referenced by: (None)