Theorem prprc1 3478

Description: A proper class vanishes in an unordered pair. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
prprc1	|- ( -. A e. _V -> { A , B } = { B } )

Proof of Theorem prprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snprc 3435	. 2 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
2		uneq1 3090	. . 3 |- ( { A } = (/) -> ( { A } u. { B } ) = ( (/) u. { B } ) )
3		df-pr 3382	. . 3 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
4		uncom 3087	. . . 4 |- ( (/) u. { B } ) = ( { B } u. (/) )
5		un0 3251	. . . 4 |- ( { B } u. (/) ) = { B }
6	4, 5	eqtr2i 2061	. . 3 |- { B } = ( (/) u. { B } )
7	2, 3, 6	3eqtr4g 2097	. 2 |- ( { A } = (/) -> { A , B } = { B } )
8	1, 7	sylbi 114	1 |- ( -. A e. _V -> { A , B } = { B } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1243   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   u. cun 2915   (/)c0 3224   {csn 3375   {cpr 3376

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-nul 3225  df-sn 3381  df-pr 3382

This theorem is referenced by:  prprc2  3479  prprc  3480