Theorem poinxp 4409

Description: Intersection of partial order with cross product of its field. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
poinxp	|- ( R Po A <-> ( R i^i ( A X. A ) ) Po A )

Proof of Theorem poinxp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> x e. A )
2		brinxp 4408	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ x e. A ) -> ( x R x <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) x ) )
3	1, 1, 2	syl2anc 391	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( x R x <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) x ) )
4	3	notbid 592	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( -. x R x <-> -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x ) )
5		brinxp 4408	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x R y <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) y ) )
6	5	adantr 261	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( x R y <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) y ) )
7		brinxp 4408	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. A /\ z e. A ) -> ( y R z <-> y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) )
8	7	adantll 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( y R z <-> y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) )
9	6, 8	anbi12d 442	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( ( x R y /\ y R z ) <-> ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) )
10		brinxp 4408	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ z e. A ) -> ( x R z <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) )
11	10	adantlr 446	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( x R z <-> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) )
12	9, 11	imbi12d 223	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) <-> ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) )
13	4, 12	anbi12d 442	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x /\ ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) ) )
14	13	ralbidva 2322	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. z e. A ( -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x /\ ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) ) )
15	14	ralbidva 2322	. . 3 |- ( x e. A -> ( A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. y e. A A. z e. A ( -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x /\ ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) ) )
16	15	ralbiia 2338	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x /\ ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) )
17		df-po 4033	. 2 |- ( R Po A <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
18		df-po 4033	. 2 |- ( ( R i^i ( A X. A ) ) Po A <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x ( R i^i ( A X. A ) ) x /\ ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) z ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) z ) ) )
19	16, 17, 18	3bitr4i 201	1 |- ( R Po A <-> ( R i^i ( A X. A ) ) Po A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   e. wcel 1393   A.wral 2306   i^i cin 2916   class class class wbr 3764   Po wpo 4031   X. cxp 4343

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-po 4033  df-xp 4351

This theorem is referenced by:  soinxp  4410