Theorem mor 1942

Description: Converse of mo23 1941 with an additional E. x ph condition. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
mor.1	|- F/ y ph

Assertion

Ref	Expression
mor	|- ( E. x ph -> ( A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) -> E. y A. x ( ph -> x = y ) ) )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem mor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mor.1	. . 3 |- F/ y ph
2	1	sb8e 1737	. 2 |- ( E. x ph <-> E. y [ y / x ] ph )
3		impexp 250	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) <-> ( ph -> ( [ y / x ] ph -> x = y ) ) )
4		bi2.04 237	. . . . 5 |- ( ( ph -> ( [ y / x ] ph -> x = y ) ) <-> ( [ y / x ] ph -> ( ph -> x = y ) ) )
5	3, 4	bitri 173	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) <-> ( [ y / x ] ph -> ( ph -> x = y ) ) )
6	5	2albii 1360	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) <-> A. x A. y ( [ y / x ] ph -> ( ph -> x = y ) ) )
7		nfs1v 1815	. . . . . 6 |- F/ x [ y / x ] ph
8	7	nfri 1412	. . . . 5 |- ( [ y / x ] ph -> A. x [ y / x ] ph )
9	8	eximi 1491	. . . 4 |- ( E. y [ y / x ] ph -> E. y A. x [ y / x ] ph )
10		alim 1346	. . . . . . 7 |- ( A. x ( [ y / x ] ph -> ( ph -> x = y ) ) -> ( A. x [ y / x ] ph -> A. x ( ph -> x = y ) ) )
11	10	alimi 1344	. . . . . 6 |- ( A. y A. x ( [ y / x ] ph -> ( ph -> x = y ) ) -> A. y ( A. x [ y / x ] ph -> A. x ( ph -> x = y ) ) )
12	11	a7s 1343	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( [ y / x ] ph -> ( ph -> x = y ) ) -> A. y ( A. x [ y / x ] ph -> A. x ( ph -> x = y ) ) )
13		exim 1490	. . . . 5 |- ( A. y ( A. x [ y / x ] ph -> A. x ( ph -> x = y ) ) -> ( E. y A. x [ y / x ] ph -> E. y A. x ( ph -> x = y ) ) )
14	12, 13	syl 14	. . . 4 |- ( A. x A. y ( [ y / x ] ph -> ( ph -> x = y ) ) -> ( E. y A. x [ y / x ] ph -> E. y A. x ( ph -> x = y ) ) )
15	9, 14	syl5com 26	. . 3 |- ( E. y [ y / x ] ph -> ( A. x A. y ( [ y / x ] ph -> ( ph -> x = y ) ) -> E. y A. x ( ph -> x = y ) ) )
16	6, 15	syl5bi 141	. 2 |- ( E. y [ y / x ] ph -> ( A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) -> E. y A. x ( ph -> x = y ) ) )
17	2, 16	sylbi 114	1 |- ( E. x ph -> ( A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) -> E. y A. x ( ph -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   A.wal 1241   F/wnf 1349   E.wex 1381   [wsb 1645

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-11 1397  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-nf 1350  df-sb 1646

This theorem is referenced by:  modc  1943