ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqeq1 Structured version   Unicode version

Theorem iseqeq1 8874
Description: Equality theorem for the sequence builder operation. (Contributed by Jim Kingdon, 30-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
iseqeq1  M  N  seq M  .+  ,  F ,  S  seq N  .+  ,  F ,  S

Proof of Theorem iseqeq1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . . . 6  M  N  M  N
2 fveq2 5121 . . . . . 6  M  N  F `  M  F `  N
31, 2opeq12d 3548 . . . . 5  M  N  <. M ,  F `  M >.  <. N ,  F `  N >.
4 freceq2 5920 . . . . 5  <. M ,  F `  M >.  <. N ,  F `  N >. frec  ZZ>=
`  M ,  S  |->  <.  +  1 ,  .+  F `  +  1 >. ,  <. M ,  F `  M
>. frec  ZZ>=
`  M ,  S  |->  <.  +  1 ,  .+  F `  +  1 >. ,  <. N ,  F `  N
>.
53, 4syl 14 . . . 4  M  N frec  ZZ>=
`  M ,  S  |->  <.  +  1 ,  .+  F `  +  1 >. ,  <. M ,  F `  M
>. frec  ZZ>=
`  M ,  S  |->  <.  +  1 ,  .+  F `  +  1 >. ,  <. N ,  F `  N
>.
6 fveq2 5121 . . . . . 6  M  N  ZZ>=
`  M  ZZ>= `  N
7 eqid 2037 . . . . . 6  S  S
8 mpt2eq12 5507 . . . . . 6  ZZ>= `  M  ZZ>= `  N  S  S  ZZ>= `  M ,  S  |-> 
<.  +  1 , 
.+  F `  +  1 >. 
ZZ>= `  N ,  S  |->  <.  +  1 ,  .+  F `  +  1 >.
96, 7, 8sylancl 392 . . . . 5  M  N  ZZ>= `  M ,  S  |->  <.  +  1 ,  .+  F `  +  1 >.  ZZ>= `  N ,  S  |->  <.  +  1 ,  .+  F `  +  1 >.
10 freceq1 5919 . . . . 5  ZZ>= `  M ,  S  |->  <.  +  1 ,  .+  F `  +  1 >.  ZZ>= `  N ,  S  |->  <.  +  1 ,  .+  F `  +  1 >. frec  ZZ>=
`  M ,  S  |->  <.  +  1 ,  .+  F `  +  1 >. ,  <. N ,  F `  N
>. frec  ZZ>=
`  N ,  S  |->  <.  +  1 ,  .+  F `  +  1 >. ,  <. N ,  F `  N
>.
119, 10syl 14 . . . 4  M  N frec  ZZ>=
`  M ,  S  |->  <.  +  1 ,  .+  F `  +  1 >. ,  <. N ,  F `  N
>. frec  ZZ>=
`  N ,  S  |->  <.  +  1 ,  .+  F `  +  1 >. ,  <. N ,  F `  N
>.
125, 11eqtrd 2069 . . 3  M  N frec  ZZ>=
`  M ,  S  |->  <.  +  1 ,  .+  F `  +  1 >. ,  <. M ,  F `  M
>. frec  ZZ>=
`  N ,  S  |->  <.  +  1 ,  .+  F `  +  1 >. ,  <. N ,  F `  N
>.
1312rneqd 4506 . 2  M  N  ran frec 
ZZ>= `  M ,  S  |->  <.  +  1 ,  .+  F `  +  1 >. ,  <. M ,  F `  M
>.  ran frec 
ZZ>= `  N ,  S  |->  <.  +  1 ,  .+  F `  +  1 >. ,  <. N ,  F `  N
>.
14 df-iseq 8873 . 2  seq M  .+  ,  F ,  S  ran frec 
ZZ>= `  M ,  S  |->  <.  +  1 ,  .+  F `  +  1 >. ,  <. M ,  F `  M
>.
15 df-iseq 8873 . 2  seq N  .+  ,  F ,  S  ran frec 
ZZ>= `  N ,  S  |->  <.  +  1 ,  .+  F `  +  1 >. ,  <. N ,  F `  N
>.
1613, 14, 153eqtr4g 2094 1  M  N  seq M  .+  ,  F ,  S  seq N  .+  ,  F ,  S
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wceq 1242   <.cop 3370   ran crn 4289   ` cfv 4845  (class class class)co 5455    |-> cmpt2 5457  freccfrec 5917   1c1 6692    + caddc 6694   ZZ>=cuz 8229    seqcseq 8872
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-cnv 4296  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-iota 4810  df-fv 4853  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-recs 5861  df-frec 5918  df-iseq 8873
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator