Theorem dmiin 4580

Description: Domain of an intersection. (Contributed by FL, 15-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dmiin	|- dom |^|_ x e. A B C_ |^|_ x e. A dom B

Proof of Theorem dmiin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfii1 3688	. . . 4 |- F/_ x |^|_ x e. A B
2	1	nfdm 4578	. . 3 |- F/_ x dom |^|_ x e. A B
3	2	ssiinf 3706	. 2 |- ( dom |^|_ x e. A B C_ |^|_ x e. A dom B <-> A. x e. A dom |^|_ x e. A B C_ dom B )
4		iinss2 3709	. . 3 |- ( x e. A -> |^|_ x e. A B C_ B )
5		dmss 4534	. . 3 |- ( |^|_ x e. A B C_ B -> dom |^|_ x e. A B C_ dom B )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( x e. A -> dom |^|_ x e. A B C_ dom B )
7	3, 6	mprgbir 2379	1 |- dom |^|_ x e. A B C_ |^|_ x e. A dom B

Syntax hints:   e. wcel 1393   C_ wss 2917   |^|_ciin 3658   dom cdm 4345

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-iin 3660  df-br 3765  df-dm 4355

This theorem is referenced by: (None)