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Theorem bj-indind 10056
Description: If A is inductive and B is "inductive in A", then ( A i^i B ) is inductive. (Contributed by BJ, 25-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
bj-indind |- ( (Ind A /\ ( (/) e. B /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) ) -> Ind ( A i^i B ) )
Distinct variable groups:   x, A   x, B
Proof of Theorem bj-indind
StepHypRef Expression
1 df-bj-ind 10051 . . . 4 |- (Ind A <-> ( (/) e. A /\ A. x e. A suc x e. A ) )
2 id 19 . . . . 5 |- ( ( ( (/) e. A /\ (/) e. B ) /\ ( A. x e. A suc x e. A /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) ) -> ( ( (/) e. A /\ (/) e. B ) /\ ( A. x e. A suc x e. A /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) ) )
32an4s 522 . . . 4 |- ( ( ( (/) e. A /\ A. x e. A suc x e. A ) /\ ( (/) e. B /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) ) -> ( ( (/) e. A /\ (/) e. B ) /\ ( A. x e. A suc x e. A /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) ) )
41, 3sylanb 268 . . 3 |- ( (Ind A /\ ( (/) e. B /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) ) -> ( ( (/) e. A /\ (/) e. B ) /\ ( A. x e. A suc x e. A /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) ) )
5 elin 3126 . . . . 5 |- ( (/) e. ( A i^i B ) <-> ( (/) e. A /\ (/) e. B ) )
65biimpri 124 . . . 4 |- ( ( (/) e. A /\ (/) e. B ) -> (/) e. ( A i^i B ) )
7 r19.26 2441 . . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( suc x e. A /\ ( x e. B -> suc x e. B ) ) <-> ( A. x e. A suc x e. A /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) )
87biimpri 124 . . . . . . 7 |- ( ( A. x e. A suc x e. A /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) -> A. x e. A ( suc x e. A /\ ( x e. B -> suc x e. B ) ) )
9 simpl 102 . . . . . . . . 9 |- ( ( suc x e. A /\ ( x e. B -> suc x e. B ) ) -> suc x e. A )
10 simpr 103 . . . . . . . . 9 |- ( ( suc x e. A /\ ( x e. B -> suc x e. B ) ) -> ( x e. B -> suc x e. B ) )
11 elin 3126 . . . . . . . . . 10 |- ( suc x e. ( A i^i B ) <-> ( suc x e. A /\ suc x e. B ) )
1211biimpri 124 . . . . . . . . 9 |- ( ( suc x e. A /\ suc x e. B ) -> suc x e. ( A i^i B ) )
139, 10, 12syl6an 1323 . . . . . . . 8 |- ( ( suc x e. A /\ ( x e. B -> suc x e. B ) ) -> ( x e. B -> suc x e. ( A i^i B ) ) )
1413ralimi 2384 . . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( suc x e. A /\ ( x e. B -> suc x e. B ) ) -> A. x e. A ( x e. B -> suc x e. ( A i^i B ) ) )
158, 14syl 14 . . . . . 6 |- ( ( A. x e. A suc x e. A /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) -> A. x e. A ( x e. B -> suc x e. ( A i^i B ) ) )
16 df-ral 2311 . . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( x e. B -> suc x e. ( A i^i B ) ) <-> A. x ( x e. A -> ( x e. B -> suc x e. ( A i^i B ) ) ) )
17 elin 3126 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A i^i B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) )
18 pm3.31 249 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A -> ( x e. B -> suc x e. ( A i^i B ) ) ) -> ( ( x e. A /\ x e. B ) -> suc x e. ( A i^i B ) ) )
1917, 18syl5bi 141 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. A -> ( x e. B -> suc x e. ( A i^i B ) ) ) -> ( x e. ( A i^i B ) -> suc x e. ( A i^i B ) ) )
2019alimi 1344 . . . . . . 7 |- ( A. x ( x e. A -> ( x e. B -> suc x e. ( A i^i B ) ) ) -> A. x ( x e. ( A i^i B ) -> suc x e. ( A i^i B ) ) )
2116, 20sylbi 114 . . . . . 6 |- ( A. x e. A ( x e. B -> suc x e. ( A i^i B ) ) -> A. x ( x e. ( A i^i B ) -> suc x e. ( A i^i B ) ) )
2215, 21syl 14 . . . . 5 |- ( ( A. x e. A suc x e. A /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) -> A. x ( x e. ( A i^i B ) -> suc x e. ( A i^i B ) ) )
23 df-ral 2311 . . . . 5 |- ( A. x e. ( A i^i B ) suc x e. ( A i^i B ) <-> A. x ( x e. ( A i^i B ) -> suc x e. ( A i^i B ) ) )
2422, 23sylibr 137 . . . 4 |- ( ( A. x e. A suc x e. A /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) -> A. x e. ( A i^i B ) suc x e. ( A i^i B ) )
256, 24anim12i 321 . . 3 |- ( ( ( (/) e. A /\ (/) e. B ) /\ ( A. x e. A suc x e. A /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) ) -> ( (/) e. ( A i^i B ) /\ A. x e. ( A i^i B ) suc x e. ( A i^i B ) ) )
264, 25syl 14 . 2 |- ( (Ind A /\ ( (/) e. B /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) ) -> ( (/) e. ( A i^i B ) /\ A. x e. ( A i^i B ) suc x e. ( A i^i B ) ) )
27 df-bj-ind 10051 . 2 |- (Ind ( A i^i B ) <-> ( (/) e. ( A i^i B ) /\ A. x e. ( A i^i B ) suc x e. ( A i^i B ) ) )
2826, 27sylibr 137 1 |- ( (Ind A /\ ( (/) e. B /\ A. x e. A ( x e. B -> suc x e. B ) ) ) -> Ind ( A i^i B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   A.wal 1241   e. wcel 1393   A.wral 2306   i^i cin 2916   (/)c0 3224   suc csuc 4102  Ind wind 10050
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-v 2559  df-in 2924  df-bj-ind 10051
This theorem is referenced by:  peano5set  10064
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