Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bdop Unicode version

Theorem bdop 9995
Description: The ordered pair of two setvars is a bounded class. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
bdop  |- BOUNDED 
<. x ,  y >.

Proof of Theorem bdop
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bdvsn 9994 . . . 4  |- BOUNDED  z  =  {
x }
2 bdcpr 9991 . . . . . . 7  |- BOUNDED  { x ,  y }
32bdss 9984 . . . . . 6  |- BOUNDED  z  C_  { x ,  y }
4 ax-bdel 9941 . . . . . . . 8  |- BOUNDED  x  e.  z
5 ax-bdel 9941 . . . . . . . 8  |- BOUNDED  y  e.  z
64, 5ax-bdan 9935 . . . . . . 7  |- BOUNDED  ( x  e.  z  /\  y  e.  z )
7 vex 2560 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
87prid1 3476 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
{ x ,  y }
9 ssel 2939 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  ->  (
x  e.  { x ,  y }  ->  x  e.  z ) )
108, 9mpi 15 . . . . . . . . 9  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  ->  x  e.  z )
11 vex 2560 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
1211prid2 3477 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
{ x ,  y }
13 ssel 2939 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  ->  (
y  e.  { x ,  y }  ->  y  e.  z ) )
1412, 13mpi 15 . . . . . . . . 9  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  ->  y  e.  z )
1510, 14jca 290 . . . . . . . 8  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  ->  (
x  e.  z  /\  y  e.  z )
)
16 prssi 3522 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  z  /\  y  e.  z )  ->  { x ,  y }  C_  z )
1715, 16impbii 117 . . . . . . 7  |-  ( { x ,  y } 
C_  z  <->  ( x  e.  z  /\  y  e.  z ) )
186, 17bd0r 9945 . . . . . 6  |- BOUNDED  { x ,  y }  C_  z
193, 18ax-bdan 9935 . . . . 5  |- BOUNDED  ( z  C_  { x ,  y }  /\  { x ,  y } 
C_  z )
20 eqss 2960 . . . . 5  |-  ( z  =  { x ,  y }  <->  ( z  C_ 
{ x ,  y }  /\  { x ,  y }  C_  z ) )
2119, 20bd0r 9945 . . . 4  |- BOUNDED  z  =  {
x ,  y }
221, 21ax-bdor 9936 . . 3  |- BOUNDED  ( z  =  {
x }  \/  z  =  { x ,  y } )
23 vex 2560 . . . 4  |-  z  e. 
_V
2423, 7, 11elop 3968 . . 3  |-  ( z  e.  <. x ,  y
>. 
<->  ( z  =  {
x }  \/  z  =  { x ,  y } ) )
2522, 24bd0r 9945 . 2  |- BOUNDED  z  e.  <. x ,  y >.
2625bdelir 9967 1  |- BOUNDED 
<. x ,  y >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 97    \/ wo 629    = wceq 1243    e. wcel 1393    C_ wss 2917   {csn 3375   {cpr 3376   <.cop 3378  BOUNDED wbdc 9960
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-bd0 9933  ax-bdan 9935  ax-bdor 9936  ax-bdal 9938  ax-bdeq 9940  ax-bdel 9941  ax-bdsb 9942
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-bdc 9961
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator