Theorem bdop 9995

Description: The ordered pair of two setvars is a bounded class. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bdop	|- BOUNDED <. x , y >.

Proof of Theorem bdop

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdvsn 9994	. . . 4 |- BOUNDED z = { x }
2		bdcpr 9991	. . . . . . 7 |- BOUNDED { x , y }
3	2	bdss 9984	. . . . . 6 |- BOUNDED z C_ { x , y }
4		ax-bdel 9941	. . . . . . . 8 |- BOUNDED x e. z
5		ax-bdel 9941	. . . . . . . 8 |- BOUNDED y e. z
6	4, 5	ax-bdan 9935	. . . . . . 7 |- BOUNDED ( x e. z /\ y e. z )
7		vex 2560	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
8	7	prid1 3476	. . . . . . . . . 10 |- x e. { x , y }
9		ssel 2939	. . . . . . . . . 10 |- ( { x , y } C_ z -> ( x e. { x , y } -> x e. z ) )
10	8, 9	mpi 15	. . . . . . . . 9 |- ( { x , y } C_ z -> x e. z )
11		vex 2560	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
12	11	prid2 3477	. . . . . . . . . 10 |- y e. { x , y }
13		ssel 2939	. . . . . . . . . 10 |- ( { x , y } C_ z -> ( y e. { x , y } -> y e. z ) )
14	12, 13	mpi 15	. . . . . . . . 9 |- ( { x , y } C_ z -> y e. z )
15	10, 14	jca 290	. . . . . . . 8 |- ( { x , y } C_ z -> ( x e. z /\ y e. z ) )
16		prssi 3522	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. z /\ y e. z ) -> { x , y } C_ z )
17	15, 16	impbii 117	. . . . . . 7 |- ( { x , y } C_ z <-> ( x e. z /\ y e. z ) )
18	6, 17	bd0r 9945	. . . . . 6 |- BOUNDED { x , y } C_ z
19	3, 18	ax-bdan 9935	. . . . 5 |- BOUNDED ( z C_ { x , y } /\ { x , y } C_ z )
20		eqss 2960	. . . . 5 |- ( z = { x , y } <-> ( z C_ { x , y } /\ { x , y } C_ z ) )
21	19, 20	bd0r 9945	. . . 4 |- BOUNDED z = { x , y }
22	1, 21	ax-bdor 9936	. . 3 |- BOUNDED ( z = { x } \/ z = { x , y } )
23		vex 2560	. . . 4 |- z e. _V
24	23, 7, 11	elop 3968	. . 3 |- ( z e. <. x , y >. <-> ( z = { x } \/ z = { x , y } ) )
25	22, 24	bd0r 9945	. 2 |- BOUNDED z e. <. x , y >.
26	25	bdelir 9967	1 |- BOUNDED <. x , y >.

Syntax hints:   /\ wa 97   \/ wo 629   = wceq 1243   e. wcel 1393   C_ wss 2917   {csn 3375   {cpr 3376   <.cop 3378  BOUNDED wbdc 9960

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-bd0 9933  ax-bdan 9935  ax-bdor 9936  ax-bdal 9938  ax-bdeq 9940  ax-bdel 9941  ax-bdsb 9942

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-bdc 9961

This theorem is referenced by: (None)