Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bdop Structured version   GIF version

Theorem bdop 7249
Description: The ordered pair of two setvars is a bounded class. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
bdop BOUNDEDx, y

Proof of Theorem bdop
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bdvsn 7248 . . . 4 BOUNDED z = {x}
2 bdcpr 7245 . . . . . . 7 BOUNDED {x, y}
32bdss 7238 . . . . . 6 BOUNDED z ⊆ {x, y}
4 ax-bdel 7195 . . . . . . . 8 BOUNDED x z
5 ax-bdel 7195 . . . . . . . 8 BOUNDED y z
64, 5ax-bdan 7189 . . . . . . 7 BOUNDED (x z y z)
7 vex 2538 . . . . . . . . . . 11 x V
87prid1 3450 . . . . . . . . . 10 x {x, y}
9 ssel 2916 . . . . . . . . . 10 ({x, y} ⊆ z → (x {x, y} → x z))
108, 9mpi 15 . . . . . . . . 9 ({x, y} ⊆ zx z)
11 vex 2538 . . . . . . . . . . 11 y V
1211prid2 3451 . . . . . . . . . 10 y {x, y}
13 ssel 2916 . . . . . . . . . 10 ({x, y} ⊆ z → (y {x, y} → y z))
1412, 13mpi 15 . . . . . . . . 9 ({x, y} ⊆ zy z)
1510, 14jca 290 . . . . . . . 8 ({x, y} ⊆ z → (x z y z))
16 prssi 3496 . . . . . . . 8 ((x z y z) → {x, y} ⊆ z)
1715, 16impbii 117 . . . . . . 7 ({x, y} ⊆ z ↔ (x z y z))
186, 17bd0r 7199 . . . . . 6 BOUNDED {x, y} ⊆ z
193, 18ax-bdan 7189 . . . . 5 BOUNDED (z ⊆ {x, y} {x, y} ⊆ z)
20 eqss 2937 . . . . 5 (z = {x, y} ↔ (z ⊆ {x, y} {x, y} ⊆ z))
2119, 20bd0r 7199 . . . 4 BOUNDED z = {x, y}
221, 21ax-bdor 7190 . . 3 BOUNDED (z = {x} z = {x, y})
23 vex 2538 . . . 4 z V
2423, 7, 11elop 3942 . . 3 (z x, y⟩ ↔ (z = {x} z = {x, y}))
2522, 24bd0r 7199 . 2 BOUNDED z x, y
2625bdelir 7221 1 BOUNDEDx, y
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wo 616   = wceq 1228   wcel 1374  wss 2894  {csn 3350  {cpr 3351  cop 3353  BOUNDED wbdc 7214
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-bd0 7187  ax-bdan 7189  ax-bdor 7190  ax-bdal 7192  ax-bdeq 7194  ax-bdel 7195  ax-bdsb 7196
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-v 2537  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-bdc 7215
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator