Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bdop Structured version   GIF version

Theorem bdop 9310
Description: The ordered pair of two setvars is a bounded class. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
bdop BOUNDEDx, y

Proof of Theorem bdop
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bdvsn 9309 . . . 4 BOUNDED z = {x}
2 bdcpr 9306 . . . . . . 7 BOUNDED {x, y}
32bdss 9299 . . . . . 6 BOUNDED z ⊆ {x, y}
4 ax-bdel 9256 . . . . . . . 8 BOUNDED x z
5 ax-bdel 9256 . . . . . . . 8 BOUNDED y z
64, 5ax-bdan 9250 . . . . . . 7 BOUNDED (x z y z)
7 vex 2554 . . . . . . . . . . 11 x V
87prid1 3467 . . . . . . . . . 10 x {x, y}
9 ssel 2933 . . . . . . . . . 10 ({x, y} ⊆ z → (x {x, y} → x z))
108, 9mpi 15 . . . . . . . . 9 ({x, y} ⊆ zx z)
11 vex 2554 . . . . . . . . . . 11 y V
1211prid2 3468 . . . . . . . . . 10 y {x, y}
13 ssel 2933 . . . . . . . . . 10 ({x, y} ⊆ z → (y {x, y} → y z))
1412, 13mpi 15 . . . . . . . . 9 ({x, y} ⊆ zy z)
1510, 14jca 290 . . . . . . . 8 ({x, y} ⊆ z → (x z y z))
16 prssi 3513 . . . . . . . 8 ((x z y z) → {x, y} ⊆ z)
1715, 16impbii 117 . . . . . . 7 ({x, y} ⊆ z ↔ (x z y z))
186, 17bd0r 9260 . . . . . 6 BOUNDED {x, y} ⊆ z
193, 18ax-bdan 9250 . . . . 5 BOUNDED (z ⊆ {x, y} {x, y} ⊆ z)
20 eqss 2954 . . . . 5 (z = {x, y} ↔ (z ⊆ {x, y} {x, y} ⊆ z))
2119, 20bd0r 9260 . . . 4 BOUNDED z = {x, y}
221, 21ax-bdor 9251 . . 3 BOUNDED (z = {x} z = {x, y})
23 vex 2554 . . . 4 z V
2423, 7, 11elop 3959 . . 3 (z x, y⟩ ↔ (z = {x} z = {x, y}))
2522, 24bd0r 9260 . 2 BOUNDED z x, y
2625bdelir 9282 1 BOUNDEDx, y
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wo 628   = wceq 1242   wcel 1390  wss 2911  {csn 3367  {cpr 3368  cop 3370  BOUNDED wbdc 9275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-bd0 9248  ax-bdan 9250  ax-bdor 9251  ax-bdal 9253  ax-bdeq 9255  ax-bdel 9256  ax-bdsb 9257
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-bdc 9276
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator