Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  vtocl3gaf Structured version   GIF version

Theorem vtocl3gaf 2616
 Description: Implicit substitution of 3 classes for 3 setvar variables. (Contributed by NM, 10-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
vtocl3gaf.a xA
vtocl3gaf.b yA
vtocl3gaf.c zA
vtocl3gaf.d yB
vtocl3gaf.e zB
vtocl3gaf.f z𝐶
vtocl3gaf.1 xψ
vtocl3gaf.2 yχ
vtocl3gaf.3 zθ
vtocl3gaf.4 (x = A → (φψ))
vtocl3gaf.5 (y = B → (ψχ))
vtocl3gaf.6 (z = 𝐶 → (χθ))
vtocl3gaf.7 ((x 𝑅 y 𝑆 z 𝑇) → φ)
Assertion
Ref Expression
vtocl3gaf ((A 𝑅 B 𝑆 𝐶 𝑇) → θ)
Distinct variable groups:   x,y,z,𝑅   x,𝑆,y,z   x,𝑇,y,z
Allowed substitution hints:   φ(x,y,z)   ψ(x,y,z)   χ(x,y,z)   θ(x,y,z)   A(x,y,z)   B(x,y,z)   𝐶(x,y,z)

Proof of Theorem vtocl3gaf
StepHypRef Expression
1 vtocl3gaf.a . . 3 xA
2 vtocl3gaf.b . . 3 yA
3 vtocl3gaf.c . . 3 zA
4 vtocl3gaf.d . . 3 yB
5 vtocl3gaf.e . . 3 zB
6 vtocl3gaf.f . . 3 z𝐶
71nfel1 2185 . . . . 5 x A 𝑅
8 nfv 1418 . . . . 5 x y 𝑆
9 nfv 1418 . . . . 5 x z 𝑇
107, 8, 9nf3an 1455 . . . 4 x(A 𝑅 y 𝑆 z 𝑇)
11 vtocl3gaf.1 . . . 4 xψ
1210, 11nfim 1461 . . 3 x((A 𝑅 y 𝑆 z 𝑇) → ψ)
132nfel1 2185 . . . . 5 y A 𝑅
144nfel1 2185 . . . . 5 y B 𝑆
15 nfv 1418 . . . . 5 y z 𝑇
1613, 14, 15nf3an 1455 . . . 4 y(A 𝑅 B 𝑆 z 𝑇)
17 vtocl3gaf.2 . . . 4 yχ
1816, 17nfim 1461 . . 3 y((A 𝑅 B 𝑆 z 𝑇) → χ)
193nfel1 2185 . . . . 5 z A 𝑅
205nfel1 2185 . . . . 5 z B 𝑆
216nfel1 2185 . . . . 5 z 𝐶 𝑇
2219, 20, 21nf3an 1455 . . . 4 z(A 𝑅 B 𝑆 𝐶 𝑇)
23 vtocl3gaf.3 . . . 4 zθ
2422, 23nfim 1461 . . 3 z((A 𝑅 B 𝑆 𝐶 𝑇) → θ)
25 eleq1 2097 . . . . 5 (x = A → (x 𝑅A 𝑅))
26253anbi1d 1210 . . . 4 (x = A → ((x 𝑅 y 𝑆 z 𝑇) ↔ (A 𝑅 y 𝑆 z 𝑇)))
27 vtocl3gaf.4 . . . 4 (x = A → (φψ))
2826, 27imbi12d 223 . . 3 (x = A → (((x 𝑅 y 𝑆 z 𝑇) → φ) ↔ ((A 𝑅 y 𝑆 z 𝑇) → ψ)))
29 eleq1 2097 . . . . 5 (y = B → (y 𝑆B 𝑆))
30293anbi2d 1211 . . . 4 (y = B → ((A 𝑅 y 𝑆 z 𝑇) ↔ (A 𝑅 B 𝑆 z 𝑇)))
31 vtocl3gaf.5 . . . 4 (y = B → (ψχ))
3230, 31imbi12d 223 . . 3 (y = B → (((A 𝑅 y 𝑆 z 𝑇) → ψ) ↔ ((A 𝑅 B 𝑆 z 𝑇) → χ)))
33 eleq1 2097 . . . . 5 (z = 𝐶 → (z 𝑇𝐶 𝑇))
34333anbi3d 1212 . . . 4 (z = 𝐶 → ((A 𝑅 B 𝑆 z 𝑇) ↔ (A 𝑅 B 𝑆 𝐶 𝑇)))
35 vtocl3gaf.6 . . . 4 (z = 𝐶 → (χθ))
3634, 35imbi12d 223 . . 3 (z = 𝐶 → (((A 𝑅 B 𝑆 z 𝑇) → χ) ↔ ((A 𝑅 B 𝑆 𝐶 𝑇) → θ)))
37 vtocl3gaf.7 . . 3 ((x 𝑅 y 𝑆 z 𝑇) → φ)
381, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 18, 24, 28, 32, 36, 37vtocl3gf 2610 . 2 ((A 𝑅 B 𝑆 𝐶 𝑇) → ((A 𝑅 B 𝑆 𝐶 𝑇) → θ))
3938pm2.43i 43 1 ((A 𝑅 B 𝑆 𝐶 𝑇) → θ)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242  Ⅎwnf 1346   ∈ wcel 1390  Ⅎwnfc 2162 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553 This theorem is referenced by:  vtocl3ga  2617
 Copyright terms: Public domain W3C validator