Theorem ralrp 8604

Description: Quantification over positive reals. (Contributed by NM, 12-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
ralrp	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝜑))

Proof of Theorem ralrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrp 8585	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
2	1	imbi1i 227	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ → 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) → 𝜑))
3		impexp 250	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) → 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → 𝜑)))
4	2, 3	bitri 173	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ → 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → 𝜑)))
5	4	ralbii2 2334	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∈ wcel 1393  ∀wral 2306   class class class wbr 3764  ℝcr 6888  0cc0 6889   < clt 7060  ℝ⁺crp 8583

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rab 2315  df-v 2559  df-un 2922  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-rp 8584

This theorem is referenced by:  caucvgre  9580