Theorem eeeanv 1805

Description: Rearrange existential quantifiers. (Contributed by NM, 26-Jul-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-May-2011.)

Assertion

Ref	Expression
eeeanv	⊢ (∃x∃y∃z(φ ∧ ψ ∧ χ) ↔ (∃xφ ∧ ∃yψ ∧ ∃zχ))

Distinct variable groups:   φ,y   φ,z   x,z,ψ   x,y,χ

Allowed substitution hints:   φ(x)   ψ(y)   χ(z)

Proof of Theorem eeeanv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 886	. . 3 ⊢ ((φ ∧ ψ ∧ χ) ↔ ((φ ∧ ψ) ∧ χ))
2	1	3exbii 1495	. 2 ⊢ (∃x∃y∃z(φ ∧ ψ ∧ χ) ↔ ∃x∃y∃z((φ ∧ ψ) ∧ χ))
3		eeanv 1804	. . 3 ⊢ (∃y∃z((φ ∧ ψ) ∧ χ) ↔ (∃y(φ ∧ ψ) ∧ ∃zχ))
4	3	exbii 1493	. 2 ⊢ (∃x∃y∃z((φ ∧ ψ) ∧ χ) ↔ ∃x(∃y(φ ∧ ψ) ∧ ∃zχ))
5		eeanv 1804	. . . 4 ⊢ (∃x∃y(φ ∧ ψ) ↔ (∃xφ ∧ ∃yψ))
6	5	anbi1i 431	. . 3 ⊢ ((∃x∃y(φ ∧ ψ) ∧ ∃zχ) ↔ ((∃xφ ∧ ∃yψ) ∧ ∃zχ))
7		19.41v 1779	. . 3 ⊢ (∃x(∃y(φ ∧ ψ) ∧ ∃zχ) ↔ (∃x∃y(φ ∧ ψ) ∧ ∃zχ))
8		df-3an 886	. . 3 ⊢ ((∃xφ ∧ ∃yψ ∧ ∃zχ) ↔ ((∃xφ ∧ ∃yψ) ∧ ∃zχ))
9	6, 7, 8	3bitr4i 201	. 2 ⊢ (∃x(∃y(φ ∧ ψ) ∧ ∃zχ) ↔ (∃xφ ∧ ∃yψ ∧ ∃zχ))
10	2, 4, 9	3bitri 195	1 ⊢ (∃x∃y∃z(φ ∧ ψ ∧ χ) ↔ (∃xφ ∧ ∃yψ ∧ ∃zχ))

Syntax hints:   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884  ∃wex 1378

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-ial 1424

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-nf 1347

This theorem is referenced by:  vtocl3  2604  spc3egv  2638  spc3gv  2639  eloprabga  5533  prarloc  6486