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Theorem dcan 830
Description: A conjunction of two decidable propositions is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
dcan (DECID φ → (DECID ψDECID (φ ψ)))

Proof of Theorem dcan
StepHypRef Expression
1 ax-ia1 99 . . . . . 6 ((¬ φ ψ) → ¬ φ)
21intnanrd 829 . . . . 5 ((¬ φ ψ) → ¬ (φ ψ))
32orim2i 665 . . . 4 (((φ ψ) φ ψ)) → ((φ ψ) ¬ (φ ψ)))
4 ax-ia2 100 . . . . . 6 (((φ ¬ φ) ¬ ψ) → ¬ ψ)
54intnand 828 . . . . 5 (((φ ¬ φ) ¬ ψ) → ¬ (φ ψ))
65olcd 640 . . . 4 (((φ ¬ φ) ¬ ψ) → ((φ ψ) ¬ (φ ψ)))
73, 6jaoi 623 . . 3 ((((φ ψ) φ ψ)) ((φ ¬ φ) ¬ ψ)) → ((φ ψ) ¬ (φ ψ)))
8 df-dc 734 . . . . 5 (DECID φ ↔ (φ ¬ φ))
9 df-dc 734 . . . . 5 (DECID ψ ↔ (ψ ¬ ψ))
108, 9anbi12i 436 . . . 4 ((DECID φ DECID ψ) ↔ ((φ ¬ φ) (ψ ¬ ψ)))
11 andi 719 . . . 4 (((φ ¬ φ) (ψ ¬ ψ)) ↔ (((φ ¬ φ) ψ) ((φ ¬ φ) ¬ ψ)))
12 andir 720 . . . . 5 (((φ ¬ φ) ψ) ↔ ((φ ψ) φ ψ)))
1312orbi1i 667 . . . 4 ((((φ ¬ φ) ψ) ((φ ¬ φ) ¬ ψ)) ↔ (((φ ψ) φ ψ)) ((φ ¬ φ) ¬ ψ)))
1410, 11, 133bitri 195 . . 3 ((DECID φ DECID ψ) ↔ (((φ ψ) φ ψ)) ((φ ¬ φ) ¬ ψ)))
15 df-dc 734 . . 3 (DECID (φ ψ) ↔ ((φ ψ) ¬ (φ ψ)))
167, 14, 153imtr4i 190 . 2 ((DECID φ DECID ψ) → DECID (φ ψ))
1716ex 108 1 (DECID φ → (DECID ψDECID (φ ψ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97   wo 616  DECID wdc 733
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 734
This theorem is referenced by:  dcbi  832  annimdc  833  pm4.55dc  834  anordc  851  xordidc  1273
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