Theorem dcan 830

Description: A conjunction of two decidable propositions is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dcan	⊢ (DECID φ → (DECID ψ → DECID (φ ∧ ψ)))

Proof of Theorem dcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-ia1 99	. . . . . 6 ⊢ ((¬ φ ∧ ψ) → ¬ φ)
2	1	intnanrd 829	. . . . 5 ⊢ ((¬ φ ∧ ψ) → ¬ (φ ∧ ψ))
3	2	orim2i 665	. . . 4 ⊢ (((φ ∧ ψ) ∨ (¬ φ ∧ ψ)) → ((φ ∧ ψ) ∨ ¬ (φ ∧ ψ)))
4		ax-ia2 100	. . . . . 6 ⊢ (((φ ∨ ¬ φ) ∧ ¬ ψ) → ¬ ψ)
5	4	intnand 828	. . . . 5 ⊢ (((φ ∨ ¬ φ) ∧ ¬ ψ) → ¬ (φ ∧ ψ))
6	5	olcd 640	. . . 4 ⊢ (((φ ∨ ¬ φ) ∧ ¬ ψ) → ((φ ∧ ψ) ∨ ¬ (φ ∧ ψ)))
7	3, 6	jaoi 623	. . 3 ⊢ ((((φ ∧ ψ) ∨ (¬ φ ∧ ψ)) ∨ ((φ ∨ ¬ φ) ∧ ¬ ψ)) → ((φ ∧ ψ) ∨ ¬ (φ ∧ ψ)))
8		df-dc 734	. . . . 5 ⊢ (DECID φ ↔ (φ ∨ ¬ φ))
9		df-dc 734	. . . . 5 ⊢ (DECID ψ ↔ (ψ ∨ ¬ ψ))
10	8, 9	anbi12i 436	. . . 4 ⊢ ((DECID φ ∧ DECID ψ) ↔ ((φ ∨ ¬ φ) ∧ (ψ ∨ ¬ ψ)))
11		andi 719	. . . 4 ⊢ (((φ ∨ ¬ φ) ∧ (ψ ∨ ¬ ψ)) ↔ (((φ ∨ ¬ φ) ∧ ψ) ∨ ((φ ∨ ¬ φ) ∧ ¬ ψ)))
12		andir 720	. . . . 5 ⊢ (((φ ∨ ¬ φ) ∧ ψ) ↔ ((φ ∧ ψ) ∨ (¬ φ ∧ ψ)))
13	12	orbi1i 667	. . . 4 ⊢ ((((φ ∨ ¬ φ) ∧ ψ) ∨ ((φ ∨ ¬ φ) ∧ ¬ ψ)) ↔ (((φ ∧ ψ) ∨ (¬ φ ∧ ψ)) ∨ ((φ ∨ ¬ φ) ∧ ¬ ψ)))
14	10, 11, 13	3bitri 195	. . 3 ⊢ ((DECID φ ∧ DECID ψ) ↔ (((φ ∧ ψ) ∨ (¬ φ ∧ ψ)) ∨ ((φ ∨ ¬ φ) ∧ ¬ ψ)))
15		df-dc 734	. . 3 ⊢ (DECID (φ ∧ ψ) ↔ ((φ ∧ ψ) ∨ ¬ (φ ∧ ψ)))
16	7, 14, 15	3imtr4i 190	. 2 ⊢ ((DECID φ ∧ DECID ψ) → DECID (φ ∧ ψ))
17	16	ex 108	1 ⊢ (DECID φ → (DECID ψ → DECID (φ ∧ ψ)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ∨ wo 616  DECID wdc 733

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 734

This theorem is referenced by:  dcbi  832  annimdc  833  pm4.55dc  834  anordc  851  xordidc  1273