ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0n0n1ge2b Structured version   GIF version

Theorem nn0n0n1ge2b 8056
Description: A nonnegative integer is neither 0 nor 1 if and only if it is greater than or equal to 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0n0n1ge2b (𝑁 0 → ((𝑁 ≠ 0 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem nn0n0n1ge2b
StepHypRef Expression
1 nn0n0n1ge2 8047 . . 3 ((𝑁 0 𝑁 ≠ 0 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁)
213expib 1106 . 2 (𝑁 0 → ((𝑁 ≠ 0 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁))
3 nn0z 8001 . . . . . 6 (𝑁 0𝑁 ℤ)
4 0z 7992 . . . . . 6 0
5 zdceq 8052 . . . . . 6 ((𝑁 0 ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
63, 4, 5sylancl 392 . . . . 5 (𝑁 0DECID 𝑁 = 0)
76dcned 2209 . . . 4 (𝑁 0DECID 𝑁 ≠ 0)
8 1z 8007 . . . . . 6 1
9 zdceq 8052 . . . . . 6 ((𝑁 1 ℤ) → DECID 𝑁 = 1)
103, 8, 9sylancl 392 . . . . 5 (𝑁 0DECID 𝑁 = 1)
1110dcned 2209 . . . 4 (𝑁 0DECID 𝑁 ≠ 1)
12 dcan 841 . . . 4 (DECID 𝑁 ≠ 0 → (DECID 𝑁 ≠ 1 → DECID (𝑁 ≠ 0 𝑁 ≠ 1)))
137, 11, 12sylc 56 . . 3 (𝑁 0DECID (𝑁 ≠ 0 𝑁 ≠ 1))
14 ianordc 798 . . . . . 6 (DECID 𝑁 ≠ 0 → (¬ (𝑁 ≠ 0 𝑁 ≠ 1) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ¬ 𝑁 ≠ 1)))
157, 14syl 14 . . . . 5 (𝑁 0 → (¬ (𝑁 ≠ 0 𝑁 ≠ 1) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ¬ 𝑁 ≠ 1)))
16 nnedc 2208 . . . . . . 7 (DECID 𝑁 = 0 → (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0))
176, 16syl 14 . . . . . 6 (𝑁 0 → (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0))
18 nnedc 2208 . . . . . . 7 (DECID 𝑁 = 1 → (¬ 𝑁 ≠ 1 ↔ 𝑁 = 1))
1910, 18syl 14 . . . . . 6 (𝑁 0 → (¬ 𝑁 ≠ 1 ↔ 𝑁 = 1))
2017, 19orbi12d 706 . . . . 5 (𝑁 0 → ((¬ 𝑁 ≠ 0 ¬ 𝑁 ≠ 1) ↔ (𝑁 = 0 𝑁 = 1)))
2115, 20bitrd 177 . . . 4 (𝑁 0 → (¬ (𝑁 ≠ 0 𝑁 ≠ 1) ↔ (𝑁 = 0 𝑁 = 1)))
22 2pos 7747 . . . . . . . . . 10 0 < 2
23 breq1 3758 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → (𝑁 < 2 ↔ 0 < 2))
2422, 23mpbiri 157 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → 𝑁 < 2)
2524a1d 22 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑁 0𝑁 < 2))
26 1lt2 7824 . . . . . . . . . 10 1 < 2
27 breq1 3758 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (𝑁 < 2 ↔ 1 < 2))
2826, 27mpbiri 157 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → 𝑁 < 2)
2928a1d 22 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → (𝑁 0𝑁 < 2))
3025, 29jaoi 635 . . . . . . 7 ((𝑁 = 0 𝑁 = 1) → (𝑁 0𝑁 < 2))
3130impcom 116 . . . . . 6 ((𝑁 0 (𝑁 = 0 𝑁 = 1)) → 𝑁 < 2)
32 2z 8009 . . . . . . . 8 2
33 zltnle 8027 . . . . . . . 8 ((𝑁 2 ℤ) → (𝑁 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 𝑁))
343, 32, 33sylancl 392 . . . . . . 7 (𝑁 0 → (𝑁 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 𝑁))
3534adantr 261 . . . . . 6 ((𝑁 0 (𝑁 = 0 𝑁 = 1)) → (𝑁 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 𝑁))
3631, 35mpbid 135 . . . . 5 ((𝑁 0 (𝑁 = 0 𝑁 = 1)) → ¬ 2 ≤ 𝑁)
3736ex 108 . . . 4 (𝑁 0 → ((𝑁 = 0 𝑁 = 1) → ¬ 2 ≤ 𝑁))
3821, 37sylbid 139 . . 3 (𝑁 0 → (¬ (𝑁 ≠ 0 𝑁 ≠ 1) → ¬ 2 ≤ 𝑁))
39 condc 748 . . 3 (DECID (𝑁 ≠ 0 𝑁 ≠ 1) → ((¬ (𝑁 ≠ 0 𝑁 ≠ 1) → ¬ 2 ≤ 𝑁) → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 ≠ 0 𝑁 ≠ 1))))
4013, 38, 39sylc 56 . 2 (𝑁 0 → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 ≠ 0 𝑁 ≠ 1)))
412, 40impbid 120 1 (𝑁 0 → ((𝑁 ≠ 0 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628  DECID wdc 741   = wceq 1242   wcel 1390  wne 2201   class class class wbr 3755  0cc0 6671  1c1 6672   < clt 6817  cle 6818  2c2 7704  0cn0 7917  cz 7981
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-addass 6745  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-ltadd 6759
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-inn 7656  df-2 7713  df-n0 7918  df-z 7982
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator