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Theorem dcor 829
Description: A disjunction of two decidable propositions is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
dcor (DECID φ → (DECID ψDECID (φ ψ)))

Proof of Theorem dcor
StepHypRef Expression
1 df-dc 731 . 2 (DECID φ ↔ (φ ¬ φ))
2 orc 620 . . . . . 6 (φ → (φ ψ))
32orcd 639 . . . . 5 (φ → ((φ ψ) ¬ (φ ψ)))
4 df-dc 731 . . . . 5 (DECID (φ ψ) ↔ ((φ ψ) ¬ (φ ψ)))
53, 4sylibr 137 . . . 4 (φDECID (φ ψ))
65a1d 22 . . 3 (φ → (DECID ψDECID (φ ψ)))
7 df-dc 731 . . . . 5 (DECID ψ ↔ (ψ ¬ ψ))
8 olc 619 . . . . . . . . 9 (ψ → (φ ψ))
98adantl 262 . . . . . . . 8 ((¬ φ ψ) → (φ ψ))
109orcd 639 . . . . . . 7 ((¬ φ ψ) → ((φ ψ) ¬ (φ ψ)))
1110, 4sylibr 137 . . . . . 6 ((¬ φ ψ) → DECID (φ ψ))
12 ioran 656 . . . . . . . . 9 (¬ (φ ψ) ↔ (¬ φ ¬ ψ))
1312biimpri 124 . . . . . . . 8 ((¬ φ ¬ ψ) → ¬ (φ ψ))
1413olcd 640 . . . . . . 7 ((¬ φ ¬ ψ) → ((φ ψ) ¬ (φ ψ)))
1514, 4sylibr 137 . . . . . 6 ((¬ φ ¬ ψ) → DECID (φ ψ))
1611, 15jaodan 697 . . . . 5 ((¬ φ (ψ ¬ ψ)) → DECID (φ ψ))
177, 16sylan2b 271 . . . 4 ((¬ φ DECID ψ) → DECID (φ ψ))
1817ex 108 . . 3 φ → (DECID ψDECID (φ ψ)))
196, 18jaoi 623 . 2 ((φ ¬ φ) → (DECID ψDECID (φ ψ)))
201, 19sylbi 114 1 (DECID φ → (DECID ψDECID (φ ψ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97   wo 616  DECID wdc 730
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 731
This theorem is referenced by:  pm4.55dc  832  pm3.12dc  851  pm3.13dc  852  dn1dc  853  eueq3dc  2688  distrlem4prl  6417  distrlem4pru  6418
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