Theorem r19.12 2422

Description: Theorem 19.12 of [Margaris] p. 89 with restricted quantifiers. (Contributed by NM, 15-Oct-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 30-May-2011.)

Assertion

Ref	Expression
r19.12	|- ( E. x e. A A. y e. B ph -> A. y e. B E. x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, y   y, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)   B( y)

Proof of Theorem r19.12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2178	. . . 4 |- F/_ y A
2		nfra1 2355	. . . 4 |- F/ y A. y e. B ph
3	1, 2	nfrexxy 2361	. . 3 |- F/ y E. x e. A A. y e. B ph
4		ax-1 5	. . 3 |- ( E. x e. A A. y e. B ph -> ( y e. B -> E. x e. A A. y e. B ph ) )
5	3, 4	ralrimi 2390	. 2 |- ( E. x e. A A. y e. B ph -> A. y e. B E. x e. A A. y e. B ph )
6		rsp 2369	. . . . 5 |- ( A. y e. B ph -> ( y e. B -> ph ) )
7	6	com12 27	. . . 4 |- ( y e. B -> ( A. y e. B ph -> ph ) )
8	7	reximdv 2420	. . 3 |- ( y e. B -> ( E. x e. A A. y e. B ph -> E. x e. A ph ) )
9	8	ralimia 2382	. 2 |- ( A. y e. B E. x e. A A. y e. B ph -> A. y e. B E. x e. A ph )
10	5, 9	syl 14	1 |- ( E. x e. A A. y e. B ph -> A. y e. B E. x e. A ph )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312

This theorem is referenced by:  iuniin  3667