Theorem fovrn 6702

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fovrn	⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 5072	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑅 × 𝑆))
2		df-ov 6552	. . . 4 ⊢ (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
3		ffvelrn 6265	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑅 × 𝑆)) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ 𝐶)
4	2, 3	syl5eqel 2692	. . 3 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑅 × 𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
5	1, 4	sylan2 490	. 2 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
6	5	3impb 1252	1 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977  ⟨cop 4131   × cxp 5036  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552

This theorem is referenced by:  fovrnda  6703  fovrnd  6704  ovmpt2elrn  7130  curry1f  7158  curry2f  7160  mapxpen  8011  axdc4lem  9160  axdc4uzlem  12644  imasmnd2  17150  grpsubcl  17318  imasgrp2  17353  imasring  18442  tsmsxplem1  21766  psmetcl  21922  xmetcl  21946  metcl  21947  blssm  22033  mbfi1fseqlem3  23290  mbfi1fseqlem4  23291  mbfi1fseqlem5  23292  grpocl  26738  grpodivcl  26777  vccl  26802  nvmcl  26885  cvmliftphtlem  30553  matunitlindflem1  32575  isbnd3  32753  clmgmOLD  32820  rngocl  32870  isdrngo2  32927