Theorem xmetcl 21946

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xmetcl	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xmetcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 21944	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		fovrn 6702	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
3	1, 2	syl3an1 1351	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977   × cxp 5036  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝ^*cxr 9952  ∞Metcxmt 19552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-xr 9957  df-xmet 19560

This theorem is referenced by:  xmetge0  21959  xmetlecl  21961  xmetsym  21962  xmetrtri  21970  xmetrtri2  21971  xmetgt0  21973  prdsdsf  21982  prdsxmetlem  21983  imasdsf1olem  21988  imasf1oxmet  21990  xpsdsval  21996  xblpnf  22011  bldisj  22013  blgt0  22014  xblss2  22017  blhalf  22020  xbln0  22029  blin  22036  blss  22040  xmscl  22077  prdsbl  22106  blsscls2  22119  blcld  22120  blcls  22121  comet  22128  stdbdxmet  22130  stdbdmet  22131  stdbdbl  22132  tmsxpsval2  22154  metcnpi3  22161  txmetcnp  22162  xrsmopn  22423  metdcnlem  22447  metdsf  22459  metdsge  22460  metdstri  22462  metdsle  22463  metdscnlem  22466  metnrmlem1  22470  metnrmlem3  22472  lmnn  22869  iscfil2  22872  iscau3  22884  dvlip2  23562  heicant  32614