Theorem metcl 21947

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
metcl	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem metcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 21945	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		fovrn 6702	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl3an1 1351	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977   × cxp 5036  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  Metcme 19553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-met 19561

This theorem is referenced by:  mettri2  21956  metrtri  21972  prdsmet  21985  imasf1omet  21991  blpnf  22012  bl2in  22015  mscl  22076  metss2lem  22126  methaus  22135  nmf2  22207  metdsre  22464  iscmet3lem1  22897  minveclem2  23005  minveclem3b  23007  minveclem3  23008  minveclem4  23011  minveclem7  23014  dvlog2lem  24198  vacn  26933  nmcvcn  26934  smcnlem  26936  blocni  27044  minvecolem2  27115  minvecolem3  27116  minvecolem4  27120  minvecolem7  27123  metf1o  32721  mettrifi  32723  lmclim2  32724  geomcau  32725  isbnd3  32753  isbnd3b  32754  ssbnd  32757  totbndbnd  32758  equivbnd  32759  prdsbnd  32762  heibor1lem  32778  heiborlem6  32785  bfplem1  32791  bfplem2  32792  bfp  32793  rrncmslem  32801  rrnequiv  32804  rrntotbnd  32805  ioorrnopnlem  39200