Theorem cantnfcl 8447

Description: Basic properties of the order isomorphism 𝐺 used later. The support of an 𝐹 ∈ 𝑆 is a finite subset of 𝐴, so it is well-ordered by E and the order isomorphism has domain a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
cantnfcl.g	⊢ 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cantnfcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
cantnfcl	⊢ (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))

Proof of Theorem cantnfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppssdm 7195	. . . . 5 ⊢ (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
2		cantnfcl.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
3		cantnfs.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
4		cantnfs.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
5		cantnfs.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
6	3, 4, 5	cantnfs 8446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐹 finSupp ∅)))
7	2, 6	mpbid 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐹 finSupp ∅))
8	7	simpld 474	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐴)
9		fdm 5964	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐵⟶𝐴 → dom 𝐹 = 𝐵)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐵)
11	1, 10	syl5sseq 3616	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
12		onss 6882	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝐵 ⊆ On)
13	5, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ On)
14	11, 13	sstrd 3578	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ On)
15		epweon 6875	. . 3 ⊢ E We On
16		wess 5025	. . 3 ⊢ ((𝐹 supp ∅) ⊆ On → ( E We On → E We (𝐹 supp ∅)))
17	14, 15, 16	mpisyl 21	. 2 ⊢ (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
18		ovex 6577	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 supp ∅) ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
20		cantnfcl.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
21	20	oion 8324	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 supp ∅) ∈ V → dom 𝐺 ∈ On)
22	19, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ On)
23	7	simprd 478	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp ∅)
24	23	fsuppimpd 8165	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ Fin)
25	20	oien 8326	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
26	19, 17, 25	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
27		enfii 8062	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 supp ∅) ∈ Fin ∧ dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ∈ Fin)
28	24, 26, 27	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ Fin)
29	22, 28	elind 3760	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ (On ∩ Fin))
30		onfin2 8037	. . 3 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
31	29, 30	syl6eleqr 2699	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ ω)
32	17, 31	jca 553	1 ⊢ (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583   E cep 4947   We wwe 4996  dom cdm 5038  Oncon0 5640  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549  ωcom 6957   supp csupp 7182   ≈ cen 7838  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158  OrdIsocoi 8297   CNF ccnf 8441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-seqom 7430  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-cnf 8442

This theorem is referenced by:  cantnfval2  8449  cantnfle  8451  cantnflt  8452  cantnflt2  8453  cantnff  8454  cantnfp1lem2  8459  cantnfp1lem3  8460  cantnflem1b  8466  cantnflem1d  8468  cantnflem1  8469  cnfcomlem  8479  cnfcom  8480  cnfcom2lem  8481  cnfcom3lem  8483