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Theorem ovcelem1 6171

Description: Lemma for ovce 6172. Set up stratification for the result. (Contributed by SF, 6-Mar-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
ovcelem1	$/\$ ₁ $/\$ ₁ $/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem ovcelem1 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elima1c 4947	. . . 4 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c1_c Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c
2		elima1c 4947	. . . . . 6 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2
3		vex 2862	. . . . . . . . . . 11
4	3	otelins3 5792	. . . . . . . . . 10 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Pw1Fn Pw1Fn
5		opelcnv 4893	. . . . . . . . . 10 Pw1Fn Pw1Fn Pw1Fn Pw1Fn
6		opelxp 4811	. . . . . . . . . . 11 Pw1Fn Pw1Fn Pw1Fn $/\$ Pw1Fn
7		brcnv 4892	. . . . . . . . . . . . . . 15 Pw1Fn Pw1Fn
8		vex 2862	. . . . . . . . . . . . . . . 16
9	8	brpw1fn 5854	. . . . . . . . . . . . . . 15 Pw1Fn ₁
10	7, 9	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . 14 Pw1Fn ₁
11	10	rexbii 2639	. . . . . . . . . . . . 13 Pw1Fn ₁
12		elima 4754	. . . . . . . . . . . . 13 Pw1Fn Pw1Fn
13		risset 2661	. . . . . . . . . . . . 13 ₁ ₁
14	11, 12, 13	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . 12 Pw1Fn ₁
15		brcnv 4892	. . . . . . . . . . . . . . 15 Pw1Fn Pw1Fn
16		vex 2862	. . . . . . . . . . . . . . . 16
17	16	brpw1fn 5854	. . . . . . . . . . . . . . 15 Pw1Fn ₁
18	15, 17	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . 14 Pw1Fn ₁
19	18	rexbii 2639	. . . . . . . . . . . . 13 Pw1Fn ₁
20		elima 4754	. . . . . . . . . . . . 13 Pw1Fn Pw1Fn
21		risset 2661	. . . . . . . . . . . . 13 ₁ ₁
22	19, 20, 21	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . 12 Pw1Fn ₁
23	14, 22	anbi12i 678	. . . . . . . . . . 11 Pw1Fn $/\$ Pw1Fn ₁ $/\$ ₁
24	6, 23	bitri 240	. . . . . . . . . 10 Pw1Fn Pw1Fn ₁ $/\$ ₁
25	4, 5, 24	3bitri 262	. . . . . . . . 9 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn ₁ $/\$ ₁
26		elrn2 4897	. . . . . . . . . 10 Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2
27		elin 3219	. . . . . . . . . . . 12 Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c $/\$ Ins2 Ins2
28		vex 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
29		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
30		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
31	29, 30	opex 4588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
32	28, 31	opex 4588	. . . . . . . . . . . . . . . 16
33	32	elcompl 3225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c
34		elima1c 4947	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image
35		elsymdif 3223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image
36	31	otelins3 5792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ins3 S S
37		vex 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
38	37, 28	opelssetsn 4760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 S
39	36, 38	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ins3 S
40	28	otelins2 5791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ins2 SI₃ Fns S Image SI₃ Fns S Image
41	37, 16, 8	otsnelsi3 5805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 SI₃ Fns S Image Fns S Image
42		df-br 4640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Fns Fns
43	37	brfns 5833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Fns
44	42, 43	bitr3i 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Fns
45		opelco 4884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 S Image Image $/\$ S
46	37, 28	brimage 5793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Image
47		dfrn5 5508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
48	47	eqeq2i 2363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
49	46, 48	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Image
50	28, 8	brsset 4758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 S
51	49, 50	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Image $/\$ S $/\$
52	51	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Image $/\$ S $/\$
53	37	rnex 5107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
54		sseq1 3292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
55	53, 54	ceqsexv 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
56	45, 52, 55	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 S Image
57	44, 56	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Fns $/\$ S Image $/\$
58		oteltxp 5782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Fns S Image Fns $/\$ S Image
59		df-f 4791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
60	57, 58, 59	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Fns S Image
61	40, 41, 60	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ins2 SI₃ Fns S Image
62	39, 61	bibi12i 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image
63	35, 62	xchbinx 301	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image
64	63	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image
65		exnal 1574	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
66	34, 64, 65	3bitrri 263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c
67	66	con1bii 321	. . . . . . . . . . . . . . 15 Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c
68	33, 67	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . 14 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c
69	3	oqelins4 5794	. . . . . . . . . . . . . 14 Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c
70	8, 16	mapval 6011	. . . . . . . . . . . . . . . 16
71	70	eqeq2i 2363	. . . . . . . . . . . . . . 15
72		abeq2 2458	. . . . . . . . . . . . . . 15
73	71, 72	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . 14
74	68, 69, 73	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . 13 Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c
75	29	otelins2 5791	. . . . . . . . . . . . . 14 Ins2 Ins2 Ins2
76	30	otelins2 5791	. . . . . . . . . . . . . 14 Ins2
77		df-br 4640	. . . . . . . . . . . . . . 15
78		brcnv 4892	. . . . . . . . . . . . . . 15
79	77, 78	bitr3i 242	. . . . . . . . . . . . . 14
80	75, 76, 79	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . 13 Ins2 Ins2
81	74, 80	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . 12 Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c $/\$ Ins2 Ins2 $/\$
82	27, 81	bitri 240	. . . . . . . . . . 11 Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 $/\$
83	82	exbii 1582	. . . . . . . . . 10 Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 $/\$
84		ovex 5551	. . . . . . . . . . 11
85		breq2 4643	. . . . . . . . . . 11
86	84, 85	ceqsexv 2894	. . . . . . . . . 10 $/\$
87	26, 83, 86	3bitri 262	. . . . . . . . 9 Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2
88	25, 87	anbi12i 678	. . . . . . . 8 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn $/\$ Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 ₁ $/\$ ₁ $/\$
89		elin 3219	. . . . . . . 8 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn $/\$ Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2
90		df-3an 936	. . . . . . . 8 ₁ $/\$ ₁ $/\$ ₁ $/\$ ₁ $/\$
91	88, 89, 90	3bitr4i 268	. . . . . . 7 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 ₁ $/\$ ₁ $/\$
92	91	exbii 1582	. . . . . 6 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 ₁ $/\$ ₁ $/\$
93	2, 92	bitri 240	. . . . 5 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c ₁ $/\$ ₁ $/\$
94	93	exbii 1582	. . . 4 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c ₁ $/\$ ₁ $/\$
95	1, 94	bitri 240	. . 3 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c1_c ₁ $/\$ ₁ $/\$
96	95	abbi2i 2464	. 2 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c1_c ₁ $/\$ ₁ $/\$
97		pw1fnex 5852	. . . . . 6 Pw1Fn
98	97	cnvex 5102	. . . . 5 Pw1Fn
99		imaexg 4746	. . . . 5 Pw1Fn $/\$ Pw1Fn
100	98, 99	mpan 651	. . . 4 Pw1Fn
101		imaexg 4746	. . . . 5 Pw1Fn $/\$ Pw1Fn
102	98, 101	mpan 651	. . . 4 Pw1Fn
103		xpexg 5114	. . . 4 Pw1Fn $/\$ Pw1Fn Pw1Fn Pw1Fn
104	100, 102, 103	syl2an 463	. . 3 $/\$ Pw1Fn Pw1Fn
105		cnvexg 5101	. . . 4 Pw1Fn Pw1Fn Pw1Fn Pw1Fn
106		ins3exg 5796	. . . 4 Pw1Fn Pw1Fn Ins3 Pw1Fn Pw1Fn
107	105, 106	syl 15	. . 3 Pw1Fn Pw1Fn Ins3 Pw1Fn Pw1Fn
108		ssetex 4744	. . . . . . . . . . . 12 S
109	108	ins3ex 5798	. . . . . . . . . . 11 Ins3 S
110		fnsex 5832	. . . . . . . . . . . . . 14 Fns
111		2ndex 5112	. . . . . . . . . . . . . . . 16
112	111	imageex 5801	. . . . . . . . . . . . . . 15 Image
113	108, 112	coex 4750	. . . . . . . . . . . . . 14 S Image
114	110, 113	txpex 5785	. . . . . . . . . . . . 13 Fns S Image
115	114	si3ex 5806	. . . . . . . . . . . 12 SI₃ Fns S Image
116	115	ins2ex 5797	. . . . . . . . . . 11 Ins2 SI₃ Fns S Image
117	109, 116	symdifex 4108	. . . . . . . . . 10 Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image
118		1cex 4142	. . . . . . . . . 10 1_c
119	117, 118	imaex 4747	. . . . . . . . 9 Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c
120	119	complex 4104	. . . . . . . 8 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c
121	120	ins4ex 5799	. . . . . . 7 Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c
122		enex 6031	. . . . . . . . . 10
123	122	cnvex 5102	. . . . . . . . 9
124	123	ins2ex 5797	. . . . . . . 8 Ins2
125	124	ins2ex 5797	. . . . . . 7 Ins2 Ins2
126	121, 125	inex 4105	. . . . . 6 Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2
127	126	rnex 5107	. . . . 5 Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2
128		inexg 4100	. . . . 5 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn $/\$ Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2
129	127, 128	mpan2 652	. . . 4 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2
130		imaexg 4746	. . . . 5 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 $/\$ 1_c Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c
131	118, 130	mpan2 652	. . . 4 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c
132		imaexg 4746	. . . . 5 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c $/\$ 1_c Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c1_c
133	118, 132	mpan2 652	. . . 4 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c1_c
134	129, 131, 133	3syl 18	. . 3 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c1_c
135	104, 107, 134	3syl 18	. 2 $/\$ Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c1_c
136	96, 135	syl5eqelr 2438	1 $/\$ ₁ $/\$ ₁ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 176 $/\$ wa 358 $/\$ w3a 934

wal 1540

wex 1541

wceq 1642

wcel 1710

cab 2339

wrex 2615

cvv 2859 ∼ ccompl 3205

cin 3208

csymdif 3209

wss 3257

csn 3737 1_cc1c 4134

₁ cpw1 4135

cop 4561 class class class wbr 4639 S csset 4719

ccom 4721

cima 4722

cxp 4770

ccnv 4771

crn 4773

wfn 4776

wf 4777

c2nd 4783 (class class class)co 5525

ctxp 5735 Ins2 cins2 5749 Ins3 cins3 5751 Imagecimage 5753 Ins4 cins4 5755 SI₃ csi3 5757 Fns cfns 5761 Pw1Fn cpw1fn 5765

cmap 5999

cen 6028

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-3 7 ax-mp 8 ax-gen 1546 ax-5 1557 ax-17 1616 ax-9 1654 ax-8 1675 ax-13 1712 ax-14 1714 ax-6 1729 ax-7 1734 ax-11 1746 ax-12 1925 ax-ext 2334 ax-nin 4078 ax-xp 4079 ax-cnv 4080 ax-1c 4081 ax-sset 4082 ax-si 4083 ax-ins2 4084 ax-ins3 4085 ax-typlower 4086 ax-sn 4087

This theorem depends on definitions: df-bi 177 df-or 359 df-an 360 df-3or 935 df-3an 936 df-nan 1288 df-tru 1319 df-ex 1542 df-nf 1545 df-sb 1649 df-eu 2208 df-mo 2209 df-clab 2340 df-cleq 2346 df-clel 2349 df-nfc 2478 df-ne 2518 df-ral 2619 df-rex 2620 df-reu 2621 df-rmo 2622 df-rab 2623 df-v 2861 df-sbc 3047 df-nin 3211 df-compl 3212 df-in 3213 df-un 3214 df-dif 3215 df-symdif 3216 df-ss 3259 df-pss 3261 df-nul 3551 df-if 3663 df-pw 3724 df-sn 3741 df-pr 3742 df-uni 3892 df-int 3927 df-opk 4058 df-1c 4136 df-pw1 4137 df-uni1 4138 df-xpk 4185 df-cnvk 4186 df-ins2k 4187 df-ins3k 4188 df-imak 4189 df-cok 4190 df-p6 4191 df-sik 4192 df-ssetk 4193 df-imagek 4194 df-idk 4195 df-iota 4339 df-0c 4377 df-addc 4378 df-nnc 4379 df-fin 4380 df-lefin 4440 df-ltfin 4441 df-ncfin 4442 df-tfin 4443 df-evenfin 4444 df-oddfin 4445 df-sfin 4446 df-spfin 4447 df-phi 4565 df-op 4566 df-proj1 4567 df-proj2 4568 df-opab 4623 df-br 4640 df-1st 4723 df-swap 4724 df-sset 4725 df-co 4726 df-ima 4727 df-si 4728 df-id 4767 df-xp 4784 df-cnv 4785 df-rn 4786 df-dm 4787 df-res 4788 df-fun 4789 df-fn 4790 df-f 4791 df-f1 4792 df-fo 4793 df-f1o 4794 df-fv 4795 df-2nd 4797 df-ov 5526 df-oprab 5528 df-mpt 5652 df-mpt2 5654 df-txp 5736 df-ins2 5750 df-ins3 5752 df-image 5754 df-ins4 5756 df-si3 5758 df-funs 5760 df-fns 5762 df-pw1fn 5766 df-map 6001 df-en 6029

This theorem is referenced by: ovce 6172 fnce 6176

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