Theorem znegcl 11289

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 11256	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 10152	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 10206	. . . . . 6 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	syl6eq 2660	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 11265	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	syl6eqel 2696	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 11257	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 11276	. . . 4 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1383	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	9	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
11	1, 10	sylbi 206	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ℝcr 9814  0cc0 9815  -cneg 10146  ℕcn 10897  ℤcz 11254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-z 11255

This theorem is referenced by:  znegclb  11291  nn0negz  11292  zsubcl  11296  zeo  11339  zindd  11354  znegcld  11360  zriotaneg  11367  uzneg  11582  zmax  11661  rebtwnz  11663  qnegcl  11681  fzsubel  12248  fzosubel  12394  ceilid  12512  modcyc2  12568  expsub  12770  seqshft  13673  climshft  14155  znnenlem  14779  negdvdsb  14836  dvdsnegb  14837  summodnegmod  14850  dvdssub  14864  odd2np1  14903  divalglem6  14959  bitscmp  14998  gcdneg  15081  neggcd  15082  gcdaddmlem  15083  gcdabs  15088  lcmneg  15154  neglcm  15155  lcmabs  15156  mulgaddcomlem  17386  mulgneg2  17398  mulgsubdir  17405  cycsubgcl  17443  zaddablx  18098  cyggeninv  18108  zsubrg  19618  zringmulg  19645  zringinvg  19654  aaliou3lem9  23909  sinperlem  24036  wilthlem3  24596  basellem3  24609  basellem4  24610  basellem8  24614  basellem9  24615  lgsneg  24846  lgsdir2lem4  24853  lgsdir2lem5  24854  ex-fl  26696  ex-mod  26698  pell1234qrdich  36443  rmxyneg  36503  monotoddzzfi  36525  monotoddzz  36526  oddcomabszz  36527  jm2.24  36548  acongtr  36563  fzneg  36567  jm2.26a  36585  cosknegpi  38752  enege  40096  onego  40097  0nodd  41600  2zrngagrp  41733  zlmodzxzequap  42082  flsubz  42106  digvalnn0  42191  dig0  42198  dig2nn0  42203