divalglem6 - Metamath Proof Explorer

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Theorem divalglem6 14959

Description: Lemma for divalg 14964. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
divalglem6.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
divalglem6.2	⊢ 𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1))
divalglem6.3	⊢ 𝐾 ∈ ℤ

**Assertion**
Ref	Expression
divalglem6	⊢ (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))

**Proof of Theorem divalglem6**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem6.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
2	1	zrei 11260	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
3		0re 9919	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	2, 3	lttri2i 10030	. 2 ⊢ (𝐾 ≠ 0 ↔ (𝐾 < 0 ∨ 0 < 𝐾))
5		divalglem6.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1))
6		0z 11265	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		divalglem6.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
8	7	nnzi 11278	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
9		elfzm11 12280	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐴)))
10	6, 8, 9	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐴))
11	5, 10	mpbi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐴)
12	11	simp3i 1065	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 < 𝐴
13	11	simp1i 1063	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 ∈ ℤ
14	13	zrei 11260	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 ∈ ℝ
15	7	nnrei 10906	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
16	2, 15	remulcli 9933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ
17	14, 15, 16	ltadd1i 10461	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 < 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)))
18	12, 17	mpbi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < (𝐴 + (𝐾 · 𝐴))
19	2	renegcli 10221	. . . . . . . 8 ⊢ -𝐾 ∈ ℝ
20	7	nnnn0i 11177	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ₀
21	20	nn0ge0i 11197	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 𝐴
22		lemulge12 10765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐾 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ -𝐾)) → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
23	22	an4s 865	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (-𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ -𝐾)) → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
24	15, 21, 23	mpanl12 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ -𝐾) → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
25	19, 24	mpan 702	. . . . . . 7 ⊢ (1 ≤ -𝐾 → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
26		lt0neg1 10413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 < 0 ↔ 0 < -𝐾))
27	2, 26	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 < 0 ↔ 0 < -𝐾)
28		znegcl 11289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
29	1, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ -𝐾 ∈ ℤ
30		zltp1le 11304	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ -𝐾 ∈ ℤ) → (0 < -𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ -𝐾))
31	6, 29, 30	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < -𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ -𝐾)
32		0p1e1 11009	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
33	32	breq1i 4590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 + 1) ≤ -𝐾 ↔ 1 ≤ -𝐾)
34	31, 33	bitri 263	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < -𝐾 ↔ 1 ≤ -𝐾)
35	27, 34	bitri 263	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 < 0 ↔ 1 ≤ -𝐾)
36	2	recni 9931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
37	15	recni 9931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
38	36, 37	mulneg1i 10355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝐾 · 𝐴) = -(𝐾 · 𝐴)
39	38	oveq2i 6560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) = (𝐴 − -(𝐾 · 𝐴))
40	16	recni 9931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 · 𝐴) ∈ ℂ
41	37, 40	subnegi 10239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 − -(𝐾 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝐾 · 𝐴))
42	39, 41	eqtri 2632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝐾 · 𝐴))
43	42	breq1i 4590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0)
44	19, 15	remulcli 9933	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ
45		suble0 10421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (-𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴)))
46	15, 44, 45	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
47	43, 46	bitr3i 265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
48	25, 35, 47	3imtr4i 280	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 < 0 → (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0)
49	14, 16	readdcli 9932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℝ
50	15, 16	readdcli 9932	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℝ
51	49, 50, 3	ltletri 10044	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ∧ (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0) → (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 0)
52	18, 48, 51	sylancr 694	. . . . 5 ⊢ (𝐾 < 0 → (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 0)
53	49, 3	ltnlei 10037	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
54	52, 53	sylib 207	. . . 4 ⊢ (𝐾 < 0 → ¬ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
55		elfzle1 12215	. . . 4 ⊢ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) → 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
56	54, 55	nsyl 134	. . 3 ⊢ (𝐾 < 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
57		zltp1le 11304	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (0 < 𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ 𝐾))
58	6, 1, 57	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ 𝐾)
59	32	breq1i 4590	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾)
60	58, 59	bitri 263	. . . . . . 7 ⊢ (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾)
61		lemulge12 10765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
62	15, 2, 61	mpanl12 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
63	21, 62	mpan 702	. . . . . . 7 ⊢ (1 ≤ 𝐾 → 𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
64	60, 63	sylbi 206	. . . . . 6 ⊢ (0 < 𝐾 → 𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
65	11	simp2i 1064	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 𝑋
66		addge02 10418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑋 ↔ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴))))
67	16, 14, 66	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 𝑋 ↔ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
68	65, 67	mpbi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴))
69	15, 16, 49	letri 10045	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴) ∧ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴))) → 𝐴 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
70	64, 68, 69	sylancl 693	. . . . 5 ⊢ (0 < 𝐾 → 𝐴 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
71	15, 49	lenlti 10036	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ↔ ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)
72	70, 71	sylib 207	. . . 4 ⊢ (0 < 𝐾 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)
73		elfzm11 12280	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∧ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)))
74	6, 8, 73	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∧ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴))
75	74	simp3bi 1071	. . . 4 ⊢ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) → (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)
76	72, 75	nsyl 134	. . 3 ⊢ (0 < 𝐾 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
77	56, 76	jaoi 393	. 2 ⊢ ((𝐾 < 0 ∨ 0 < 𝐾) → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
78	4, 77	sylbi 206	1 ⊢ (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 195 ∨ wo 382 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 ∈ wcel 1977 ≠ wne 2780 class class class wbr 4583 (class class class)co 6549 ℝcr 9814 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 · cmul 9820 < clt 9953 ≤ cle 9954 − cmin 10145 -cneg 10146 ℕcn 10897 ℤcz 11254 ...cfz 12197

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-er 7629 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-nn 10898 df-n0 11170 df-z 11255 df-uz 11564 df-fz 12198

This theorem is referenced by: divalglem7 14960

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