Theorem supxrcl 12017

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 11850	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 12011	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 8247	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   Or wor 4958  supcsup 8229  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148

This theorem is referenced by:  supxrun  12018  supxrmnf  12019  supxrbnd1  12023  supxrbnd2  12024  supxrub  12026  supxrleub  12028  supxrre  12029  supxrbnd  12030  supxrgtmnf  12031  supxrre1  12032  supxrre2  12033  supxrss  12034  ixxub  12067  limsupgord  14051  limsupcl  14052  limsupgf  14054  prdsdsf  21982  xpsdsval  21996  xrge0tsms  22445  elovolm  23050  ovolmge0  23052  ovolgelb  23055  ovollb2lem  23063  ovolunlem1a  23071  ovoliunlem1  23077  ovoliunlem2  23078  ovoliun  23080  ovolscalem1  23088  ovolicc1  23091  ovolicc2lem4  23095  voliunlem2  23126  voliunlem3  23127  ioombl1lem2  23134  uniioovol  23153  uniiccvol  23154  uniioombllem1  23155  uniioombllem3  23159  itg2cl  23305  itg2seq  23315  itg2monolem2  23324  itg2monolem3  23325  itg2mono  23326  mdeglt  23629  mdegxrcl  23631  radcnvcl  23975  nmoxr  27005  nmopxr  28109  nmfnxr  28122  xrofsup  28923  supxrnemnf  28924  xrge0tsmsd  29116  mblfinlem3  32618  mblfinlem4  32619  ismblfin  32620  itg2addnclem  32631  itg2gt0cn  32635  binomcxplemdvbinom  37574  binomcxplemcvg  37575  binomcxplemnotnn0  37577  supxrcld  38321  supxrgere  38490  supxrgelem  38494  supxrge  38495  suplesup  38496  suplesup2  38533  sge0cl  39274  sge0xaddlem1  39326  sge0xaddlem2  39327  sge0reuz  39340