Theorem rpne0 11724

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpregt0 11722	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2		gt0ne0 10372	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ℝcr 9814  0cc0 9815   < clt 9953  ℝ⁺crp 11708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-rp 11709

This theorem is referenced by:  rprene0  11725  rpcnne0  11726  rpne0d  11753  divge1  11774  xlemul1  11992  ltdifltdiv  12497  mulmod0  12538  negmod0  12539  moddiffl  12543  modid0  12558  modmuladd  12574  modmuladdnn0  12576  2txmodxeq0  12592  rpexpcl  12741  expnlbnd  12856  rennim  13827  sqrtdiv  13854  o1fsum  14386  divrcnv  14423  rpmsubg  19629  itg2const2  23314  reeff1o  24005  reefgim  24008  logne0  24130  advlog  24200  advlogexp  24201  logcxp  24215  cxprec  24232  cxpmul  24234  abscxp  24238  cxple2  24243  dvcxp1  24281  dvcxp2  24282  dvsqrt  24283  relogbreexp  24313  relogbzexp  24314  relogbmul  24315  relogbdiv  24317  relogbexp  24318  relogbcxp  24323  relogbcxpb  24325  relogbf  24329  logblog  24330  rlimcnp  24492  efrlim  24496  cxplim  24498  cxp2limlem  24502  cxploglim  24504  logdifbnd  24520  logdiflbnd  24521  logfacrlim2  24751  bposlem8  24816  vmadivsum  24971  mudivsum  25019  mulogsumlem  25020  logdivsum  25022  log2sumbnd  25033  selberg2lem  25039  selberg2  25040  pntrmax  25053  selbergr  25057  pntrlog2bndlem4  25069  pntrlog2bndlem5  25070  pntlem3  25098  padicabvcxp  25121  blocnilem  27043  nmcexi  28269  probfinmeasbOLD  29817  probfinmeasb  29818  signsplypnf  29953  poimirlem29  32608  areacirclem1  32670  areacirclem4  32673  areacirc  32675  heiborlem6  32785  heiborlem7  32786  xralrple2  38511  recnnltrp  38534  rpgtrecnn  38538  ioodvbdlimc1lem2  38822  ioodvbdlimc2lem  38824  fldivmod  42107  relogbmulbexp  42153  relogbdivb  42154  blenre  42166