Theorem rlimcnp 24492

Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the function 𝑆(𝑦) = 𝑅(1 / 𝑦) at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcnp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,)+∞))
rlimcnp.0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐴)
rlimcnp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ+)
rlimcnp.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
rlimcnp.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑥) ∈ 𝐵))
rlimcnp.c	⊢ (𝑥 = 0 → 𝑅 = 𝐶)
rlimcnp.s	⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → 𝑅 = 𝑆)
rlimcnp.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
rlimcnp.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
rlimcnp	⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rlimcnp

Dummy variables 𝑤 𝑟 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpreccl 11733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑟) ∈ ℝ+)
2	1	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑟) ∈ ℝ+)
3		rpreccl 11733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑡) ∈ ℝ+)
4	3	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑡) ∈ ℝ+)
5		rpcnne0 11726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0))
6	5	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0))
7		recrec 10601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → (1 / (1 / 𝑡)) = 𝑡)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (1 / (1 / 𝑡)) = 𝑡)
9	8	eqcomd 2616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑡 = (1 / (1 / 𝑡)))
10		oveq2 6557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = (1 / 𝑡) → (1 / 𝑟) = (1 / (1 / 𝑡)))
11	10	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = (1 / 𝑡) → (𝑡 = (1 / 𝑟) ↔ 𝑡 = (1 / (1 / 𝑡))))
12	11	rspcev 3282	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 𝑡) ∈ ℝ+ ∧ 𝑡 = (1 / (1 / 𝑡))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑡 = (1 / 𝑟))
13	4, 9, 12	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑡 = (1 / 𝑟))
14		simpr 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = (1 / 𝑟)) → 𝑡 = (1 / 𝑟))
15	14	breq1d 4593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = (1 / 𝑟)) → (𝑡 < 𝑦 ↔ (1 / 𝑟) < 𝑦))
16	15	imbi1d 330	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = (1 / 𝑟)) → ((𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
17	16	ralbidv 2969	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = (1 / 𝑟)) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
18	2, 13, 17	rexxfrd 4807	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
20		simplr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑟 ∈ ℝ+)
21		rlimcnp.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ+)
22	21	sselda 3568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ+)
23	22	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ+)
24		elrp 11710	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑟))
25		elrp 11710	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦))
26		ltrec1 10789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦)) → ((1 / 𝑟) < 𝑦 ↔ (1 / 𝑦) < 𝑟))
27	24, 25, 26	syl2anb 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑟) < 𝑦 ↔ (1 / 𝑦) < 𝑟))
28	20, 23, 27	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1 / 𝑟) < 𝑦 ↔ (1 / 𝑦) < 𝑟))
29	28	imbi1d 330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ((1 / 𝑦) < 𝑟 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
30	29	ralbidva 2968	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑦) < 𝑟 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
31	30	adantlr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑦) < 𝑟 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
32		rpcn 11717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℂ)
33		rpne0 11724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ≠ 0)
34	32, 33	recrecd 10677	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / (1 / 𝑦)) = 𝑦)
35	22, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1 / (1 / 𝑦)) = 𝑦)
36		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
37	35, 36	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1 / (1 / 𝑦)) ∈ 𝐵)
38		rpreccl 11733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
39	22, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
40		rlimcnp.d	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑥) ∈ 𝐵))
41	40	ralrimiva 2949	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑥) ∈ 𝐵))
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑥) ∈ 𝐵))
43		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
44		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → (1 / 𝑥) = (1 / (1 / 𝑦)))
45	44	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → ((1 / 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (1 / (1 / 𝑦)) ∈ 𝐵))
46	43, 45	bibi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (1 / (1 / 𝑦)) ∈ 𝐵)))
47	46	rspcv 3278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 / 𝑦) ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑥) ∈ 𝐵) → ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (1 / (1 / 𝑦)) ∈ 𝐵)))
48	39, 42, 47	sylc 63	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (1 / (1 / 𝑦)) ∈ 𝐵))
49	37, 48	mpbird 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1 / 𝑦) ∈ 𝐴)
50	39	rpne0d 11753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1 / 𝑦) ≠ 0)
51		eldifsn 4260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 / 𝑦) ∈ (𝐴 ∖ {0}) ↔ ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝑦) ≠ 0))
52	49, 50, 51	sylanbrc 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (1 / 𝑦) ∈ (𝐴 ∖ {0}))
53		eldifi 3694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ 𝐴)
55		rge0ssre 12151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
56		rlimcnp.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,)+∞))
57	56	ssdifssd 3710	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {0}) ⊆ (0[,)+∞))
58	57	sselda 3568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
59	55, 58	sseldi 3566	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℝ)
60		0re 9919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℝ
61		pnfxr 9971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
62		elico2 12108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
63	60, 61, 62	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
64	63	simp2bi 1070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑥)
65	58, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 0 ≤ 𝑥)
66		eldifsni 4261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
67	66	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 𝑥 ≠ 0)
68	59, 65, 67	ne0gt0d 10053	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 0 < 𝑥)
69	59, 68	elrpd 11745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℝ+)
70	69, 40	syldan 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (1 / 𝑥) ∈ 𝐵))
71	54, 70	mpbid 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐵)
72		rpcn 11717	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℂ)
73		rpne0 11724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ≠ 0)
74	72, 73	recrecd 10677	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / (1 / 𝑥)) = 𝑥)
75	69, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → (1 / (1 / 𝑥)) = 𝑥)
76	75	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 𝑥 = (1 / (1 / 𝑥)))
77		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑥) → (1 / 𝑦) = (1 / (1 / 𝑥)))
78	77	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (1 / 𝑥) → (𝑥 = (1 / 𝑦) ↔ 𝑥 = (1 / (1 / 𝑥))))
79	78	rspcev 3282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (1 / (1 / 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (1 / 𝑦))
80	71, 76, 79	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (1 / 𝑦))
81		breq1 4586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → (𝑥 < 𝑟 ↔ (1 / 𝑦) < 𝑟))
82		rlimcnp.s	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → 𝑅 = 𝑆)
83	82	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → (𝑅 − 𝐶) = (𝑆 − 𝐶))
84	83	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) = (abs‘(𝑆 − 𝐶)))
85	84	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → ((abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧))
86	81, 85	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → ((𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ((1 / 𝑦) < 𝑟 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
87	86	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (1 / 𝑦)) → ((𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ((1 / 𝑦) < 𝑟 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
88	52, 80, 87	ralxfrd 4805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑦) < 𝑟 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
89	88	ad2antrr 758	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑦) < 𝑟 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
90	31, 89	bitr4d 270	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
91		elsni 4142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ {0} → 𝑥 = 0)
92	91	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → 𝑥 = 0)
93		rlimcnp.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 0 → 𝑅 = 𝐶)
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → 𝑅 = 𝐶)
95	94	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → (𝑅 − 𝐶) = (𝐶 − 𝐶))
96		rlimcnp.0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐴)
97		rlimcnp.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
98	97	ralrimiva 2949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ ℂ)
99	93	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑅 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
100	99	rspcv 3278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ ℂ → 𝐶 ∈ ℂ))
101	96, 98, 100	sylc 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
102	101	subidd 10259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐶) = 0)
103	102	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → (𝐶 − 𝐶) = 0)
104	95, 103	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → (𝑅 − 𝐶) = 0)
105	104	abs00bd 13879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) = 0)
106		rpgt0 11720	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑧)
107	106	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → 0 < 𝑧)
108	105, 107	eqbrtrd 4605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)
109	108	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧))
110	109	ralrimiva 2949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ {0} (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧))
111	110	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ {0} (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧))
112	111	biantrud 527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ∧ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧))))
113		ralunb 3756	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((𝐴 ∖ {0}) ∪ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ∧ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
114	112, 113	syl6bbr 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐴 ∖ {0}) ∪ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
115		undif1 3995	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∖ {0}) ∪ {0}) = (𝐴 ∪ {0})
116	96	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ∈ 𝐴)
117	116	snssd 4281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → {0} ⊆ 𝐴)
118		ssequn2 3748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({0} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {0}) = 𝐴)
119	117, 118	sylib 207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∪ {0}) = 𝐴)
120	115, 119	syl5eq 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ∖ {0}) ∪ {0}) = 𝐴)
121	120	raleqdv 3121	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ ((𝐴 ∖ {0}) ∪ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
122	90, 114, 121	3bitrd 293	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
123	122	rexbidva 3031	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
124	19, 123	bitrd 267	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
125	124	ralbidva 2968	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
126		nfv 1830	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟
127		nffvmpt1 6111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)
128		nfcv 2751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(abs ∘ − )
129		nffvmpt1 6111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)
130	127, 128, 129	nfov 6575	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0))
131		nfcv 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 <
132		nfcv 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
133	130, 131, 132	nfbr 4629	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧
134	126, 133	nfim 1813	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧)
135		nfv 1830	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑤((𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧)
136		oveq1 6556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0))
137	136	breq1d 4593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 ↔ (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟))
138		fveq2 6103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥))
139	138	oveq1d 6564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) = (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)))
140	139	breq1d 4593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧 ↔ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧))
141	137, 140	imbi12d 333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ ((𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧)))
142	134, 135, 141	cbvral 3143	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧))
143		simpr 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
144	96	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ 𝐴)
145	143, 144	ovresd 6699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) = (𝑥(abs ∘ − )0))
146	56, 55	syl6ss 3580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
147		ax-resscn 9872	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
148	146, 147	syl6ss 3580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
149	148	sselda 3568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
150		0cnd 9912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
151		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
152	151	cnmetdval 22384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑥 − 0)))
153	149, 150, 152	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑥 − 0)))
154	149	subid1d 10260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
155	154	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘𝑥))
156	145, 153, 155	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) = (abs‘𝑥))
157	146	sselda 3568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
158	56	sselda 3568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
159	158, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝑥)
160	157, 159	absidd 14009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝑥) = 𝑥)
161	156, 160	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) = 𝑥)
162	161	breq1d 4593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 ↔ 𝑥 < 𝑟))
163		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)
164	163	fvmpt2 6200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
165	143, 97, 164	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
166	101	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
167	93, 163	fvmptg 6189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0) = 𝐶)
168	144, 166, 167	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0) = 𝐶)
169	165, 168	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) = (𝑅(abs ∘ − )𝐶))
170	151	cnmetdval 22384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑅(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝑅 − 𝐶)))
171	97, 166, 170	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝑅 − 𝐶)))
172	169, 171	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) = (abs‘(𝑅 − 𝐶)))
173	172	breq1d 4593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧))
174	162, 173	imbi12d 333	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
175	174	ralbidva 2968	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
176	142, 175	syl5bb 271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
177	176	rexbidv 3034	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
178	177	ralbidv 2969	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑧)))
179	97, 163	fmptd 6292	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):𝐴⟶ℂ)
180	179	biantrurd 528	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧))))
181	125, 178, 180	3bitr2d 295	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧))))
182	98	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ ℂ)
183	82	eleq1d 2672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → (𝑅 ∈ ℂ ↔ 𝑆 ∈ ℂ))
184	183	rspcv 3278	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ ℂ → 𝑆 ∈ ℂ))
185	49, 182, 184	sylc 63	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ ℂ)
186	185	ralrimiva 2949	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑆 ∈ ℂ)
187		rpssre 11719	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
188	21, 187	syl6ss 3580	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
189		1red 9934	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
190	186, 188, 101, 189	rlim3 14077	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ (1[,)+∞)∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
191		0xr 9965	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
192		0lt1 10429	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
193		df-ioo 12050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
194		df-ico 12052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
195		xrltletr 11864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑤) → 0 < 𝑤))
196	193, 194, 195	ixxss1 12064	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞))
197	191, 192, 196	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞)
198		ioorp 12122	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
199	197, 198	sseqtri 3600	. . . . . . . 8 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ ℝ+
200		ssrexv 3630	. . . . . . . 8 ⊢ ((1[,)+∞) ⊆ ℝ+ → (∃𝑡 ∈ (1[,)+∞)∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
201	199, 200	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑡 ∈ (1[,)+∞)∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧))
202		simplr 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑡 ∈ ℝ+)
203	187, 202	sseldi 3566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑡 ∈ ℝ)
204	188	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐵 ⊆ ℝ)
205	204	sselda 3568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
206		ltle 10005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑡 < 𝑦 → 𝑡 ≤ 𝑦))
207	203, 205, 206	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑡 < 𝑦 → 𝑡 ≤ 𝑦))
208	207	imim1d 80	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
209	208	ralimdva 2945	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
210	209	reximdva 3000	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
211	201, 210	syl5 33	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ (1[,)+∞)∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
212	211	ralimdv 2946	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ (1[,)+∞)∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
213	190, 212	sylbid 229	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 → ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
214		ssrexv 3630	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ⊆ ℝ → (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
215	187, 214	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧))
216	215	ralimi 2936	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧))
217	186, 188, 101	rlim2lt 14076	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
218	216, 217	syl5ibr 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶))
219	213, 218	impbid 201	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆 − 𝐶)) < 𝑧)))
220		cnxmet 22386	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
221		xmetres2 21976	. . . . 5 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
222	220, 148, 221	sylancr 694	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
223	220	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
224		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
225		rlimcnp.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
226	225	cnfldtopn 22395	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
227	224, 226	metcnp2 22157	. . . 4 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐽)‘0) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧))))
228	222, 223, 96, 227	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐽)‘0) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)‘0)) < 𝑧))))
229	181, 219, 228	3bitr4d 299	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐽)‘0)))
230		rlimcnp.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝐴)
231		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
232	231, 226, 224	metrest 22139	. . . . . . 7 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
233	220, 148, 232	sylancr 694	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
234	230, 233	syl5eq 2656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
235	234	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 CnP 𝐽) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐽))
236	235	fveq1d 6105	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 CnP 𝐽)‘0) = (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐽)‘0))
237	236	eleq2d 2673	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐽)‘0)))
238	229, 237	bitr4d 270	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  +∞cpnf 9950  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℝ⁺crp 11708  (,)cioo 12046  [,)cico 12048  abscabs 13822   ⇝_𝑟 crli 14064   ↾_t crest 15904  TopOpenctopn 15905  ∞Metcxmt 19552  MetOpencmopn 19557  ℂ_fldccnfld 19567   CnP ccnp 20839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-rlim 14068  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cnp 20842

This theorem is referenced by:  rlimcnp2  24493