Theorem pncan 10166

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 476	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpl 472	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 10117	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
4		addcl 9897	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5		subadd 10163	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1318	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
7	3, 6	mpbird 246	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   + caddc 9818   − cmin 10145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147

This theorem is referenced by:  pncan2  10167  addsubass  10170  pncan3oi  10176  subid1  10180  nppcan2  10191  pncand  10272  nn1m1nn  10917  nnsub  10936  elnn0nn  11212  elz2  11271  zrevaddcl  11299  nzadd  11302  qrevaddcl  11686  irradd  11688  fzrev3  12276  elfzp1b  12286  fzrevral3  12296  fzval3  12404  seqf1olem1  12702  seqf1olem2  12703  subsq2  12835  bcp1nk  12966  bcp1m1  12969  bcpasc  12970  hashbclem  13093  ccatalpha  13228  wrdind  13328  wrd2ind  13329  2cshwcshw  13422  shftlem  13656  shftval5  13666  isershft  14242  isercoll2  14247  fsump1  14329  mptfzshft  14352  telfsumo  14375  fsumparts  14379  bcxmas  14406  isum1p  14412  geolim  14440  mertenslem2  14456  mertens  14457  fsumkthpow  14626  eftlub  14678  effsumlt  14680  eirrlem  14771  dvdsadd  14862  prmind2  15236  iserodd  15378  fldivp1  15439  prmpwdvds  15446  pockthlem  15447  prmreclem4  15461  prmreclem6  15463  4sqlem11  15497  vdwapun  15516  ramub1lem1  15568  ramcl  15571  efgsval2  17969  efgsrel  17970  pcoass  22632  shft2rab  23083  uniioombllem3  23159  uniioombllem4  23160  dvexp  23522  dvfsumlem1  23593  degltp1le  23637  ply1divex  23700  plyaddlem1  23773  plymullem1  23774  dvply1  23843  dvply2g  23844  vieta1lem2  23870  aaliou3lem7  23908  dvradcnv  23979  pserdvlem2  23986  abssinper  24074  advlogexp  24201  atantayl3  24466  leibpilem1  24467  leibpilem2  24468  emcllem2  24523  harmonicbnd4  24537  wilthlem2  24595  basellem8  24614  ppiprm  24677  ppinprm  24678  chtprm  24679  chtnprm  24680  chpp1  24681  chtub  24737  perfectlem1  24754  perfectlem2  24755  perfect  24756  bcp1ctr  24804  lgsvalmod  24841  lgseisen  24904  lgsquadlem1  24905  lgsquad2lem1  24909  2sqlem10  24953  rplogsumlem1  24973  selberg2lem  25039  logdivbnd  25045  pntrsumo1  25054  pntpbnd2  25076  wlklenvm1  26060  wlkiswwlk1  26218  wwlknext  26252  clwwlkf1  26324  eupap1  26503  eupath2lem3  26506  extwwlkfablem2  26605  subfacp1lem5  30420  subfacp1lem6  30421  subfacval2  30423  subfaclim  30424  cvmliftlem7  30527  cvmliftlem10  30530  mblfinlem2  32617  itg2addnclem3  32633  fdc  32711  mettrifi  32723  heiborlem4  32783  heiborlem6  32785  lzenom  36351  2nn0ind  36528  jm2.17a  36545  jm2.17b  36546  jm2.17c  36547  evensumeven  40154  perfectALTVlem2  40165  perfectALTV  40166  wwlksnext  41099  clwwlksf1  41224