Theorem hashfun 13084

Description: A finite set is a function iff it is equinumerous to its domain. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfun	⊢ (𝐹 ∈ Fin → (Fun 𝐹 ↔ (#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹)))

Proof of Theorem hashfun

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 5833	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
2		hashfn 13025	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn dom 𝐹 → (#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹))
3	1, 2	sylbi 206	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹))
4		dmfi 8129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → dom 𝐹 ∈ Fin)
5		hashcl 13009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom 𝐹 ∈ Fin → (#‘dom 𝐹) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (#‘dom 𝐹) ∈ ℕ0)
7	6	nn0red 11229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (#‘dom 𝐹) ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ Rel 𝐹) → (#‘dom 𝐹) ∈ ℝ)
9		df-rel 5045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ 𝐹 ⊆ (V × V))
10		dfss3 3558	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ⊆ (V × V) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ∈ (V × V))
11	9, 10	bitri 263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ∈ (V × V))
12	11	notbii 309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ Rel 𝐹 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ∈ (V × V))
13		rexnal 2978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐹 ¬ 𝑥 ∈ (V × V) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ∈ (V × V))
14	12, 13	bitr4i 266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ Rel 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ¬ 𝑥 ∈ (V × V))
15		dmun 5253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥})
16	15	fveq2i 6106	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (#‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (#‘(dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥}))
17		dmsnn0 5518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (V × V) ↔ dom {𝑥} ≠ ∅)
18	17	biimpri 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (dom {𝑥} ≠ ∅ → 𝑥 ∈ (V × V))
19	18	necon1bi 2810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (V × V) → dom {𝑥} = ∅)
20	19	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → dom {𝑥} = ∅)
21	20	uneq2d 3729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥}) = (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ ∅))
22		un0 3919	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ ∅) = dom (𝐹 ∖ {𝑥})
23	21, 22	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥}) = dom (𝐹 ∖ {𝑥}))
24	23	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (#‘(dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥})) = (#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})))
25	16, 24	syl5eq 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (#‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})))
26		diffi 8077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
27		dmfi 8129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
29		hashcl 13009	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → (#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℕ0)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℕ0)
31	30	nn0red 11229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℝ)
32		hashcl 13009	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → (#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℕ0)
33	26, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℕ0)
34	33	nn0red 11229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℝ)
35		peano2re 10088	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℝ → ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1) ∈ ℝ)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1) ∈ ℝ)
37		fidomdm 8128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ≼ (𝐹 ∖ {𝑥}))
38	26, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ≼ (𝐹 ∖ {𝑥}))
39		hashdom 13029	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin ∧ (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin) → ((#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ≤ (#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ≼ (𝐹 ∖ {𝑥})))
40	28, 26, 39	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ≤ (#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ≼ (𝐹 ∖ {𝑥})))
41	38, 40	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ≤ (#‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
42	34	ltp1d 10833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) < ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1))
43	31, 34, 36, 41, 42	lelttrd 10074	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) < ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1))
44	43	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) < ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1))
45	25, 44	eqbrtrd 4605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (#‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) < ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1))
46		snfi 7923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑥} ∈ Fin
47		incom 3767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ({𝑥} ∩ (𝐹 ∖ {𝑥}))
48		disjdif 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({𝑥} ∩ (𝐹 ∖ {𝑥})) = ∅
49	47, 48	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
50		hashun 13032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin ∧ {𝑥} ∈ Fin ∧ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅) → (#‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + (#‘{𝑥})))
51	46, 49, 50	mp3an23 1408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → (#‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + (#‘{𝑥})))
52	26, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (#‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + (#‘{𝑥})))
53		vex 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑥 ∈ V
54		hashsng 13020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ V → (#‘{𝑥}) = 1)
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (#‘{𝑥}) = 1
56	55	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + (#‘{𝑥})) = ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1)
57	52, 56	syl6req 2661	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1) = (#‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
58	57	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1) = (#‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
59	45, 58	breqtrd 4609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (#‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) < (#‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
60		difsnid 4282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐹)
61	60	dmeqd 5248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = dom 𝐹)
62	61	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → (#‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (#‘dom 𝐹))
63	62	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (#‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (#‘dom 𝐹))
64	60	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → (#‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (#‘𝐹))
65	64	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (#‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (#‘𝐹))
66	59, 63, 65	3brtr3d 4614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (#‘dom 𝐹) < (#‘𝐹))
67	66	rexlimdv3a 3015	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (∃𝑥 ∈ 𝐹 ¬ 𝑥 ∈ (V × V) → (#‘dom 𝐹) < (#‘𝐹)))
68	14, 67	syl5bi 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (¬ Rel 𝐹 → (#‘dom 𝐹) < (#‘𝐹)))
69	68	imp 444	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ Rel 𝐹) → (#‘dom 𝐹) < (#‘𝐹))
70	8, 69	gtned 10051	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ Rel 𝐹) → (#‘𝐹) ≠ (#‘dom 𝐹))
71	70	ex 449	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (¬ Rel 𝐹 → (#‘𝐹) ≠ (#‘dom 𝐹)))
72	71	necon4bd 2802	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹) → Rel 𝐹))
73	72	imp 444	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ (#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹)) → Rel 𝐹)
74		2nalexn 1745	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑥∃𝑦 ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
75		df-ne 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑧 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑧)
76	75	anbi2i 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ↔ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑧))
77		annim 440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑧) ↔ ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
78	76, 77	bitri 263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ↔ ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
79	78	exbii 1764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ↔ ∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
80		exnal 1744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
81	79, 80	bitr2i 264	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
82	81	2exbii 1765	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥∃𝑦 ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
83	74, 82	bitri 263	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
84	7	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (#‘dom 𝐹) ∈ ℝ)
85		2re 10967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
86		diffi 8077	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin)
87		dmfi 8129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin)
88	86, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin)
89		hashcl 13009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℕ0)
90	88, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℕ0)
91	90	nn0red 11229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ)
92	91	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ)
93		readdcl 9898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ) → (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
94	85, 92, 93	sylancr 694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
95		hashcl 13009	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
96	95	nn0red 11229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (#‘𝐹) ∈ ℝ)
97	96	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (#‘𝐹) ∈ ℝ)
98		1re 9918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
99		readdcl 9898	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ) → (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
100	98, 91, 99	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
101	100	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
102	85, 91, 93	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
103	102	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
104		dmun 5253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = (dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))
105		opex 4859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ V
106		opex 4859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ V
107	105, 106	prss 4291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ⊆ 𝐹)
108		undif 4001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ⊆ 𝐹 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = 𝐹)
109	107, 108	sylbb 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = 𝐹)
110	109	dmeqd 5248	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → dom ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = dom 𝐹)
111	104, 110	syl5reqr 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → dom 𝐹 = (dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
112		vex 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑦 ∈ V
113		vex 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑧 ∈ V
114	112, 113	dmprop 5528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} = {𝑥, 𝑥}
115		dfsn2 4138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {𝑥} = {𝑥, 𝑥}
116	114, 115	eqtr4i 2635	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} = {𝑥}
117	116	uneq1i 3725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = ({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))
118	111, 117	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → dom 𝐹 = ({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
119	118	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → (#‘dom 𝐹) = (#‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
120	119	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (#‘dom 𝐹) = (#‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
121		hashun2 13033	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (({𝑥} ∈ Fin ∧ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin) → (#‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ ((#‘{𝑥}) + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
122	46, 88, 121	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (#‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ ((#‘{𝑥}) + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
123	55	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘{𝑥}) + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
124	122, 123	syl6breq 4624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (#‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
125	124	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (#‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
126	120, 125	eqbrtrd 4605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (#‘dom 𝐹) ≤ (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
127		1lt2 11071	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 2
128		ltadd1 10374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ) → (1 < 2 ↔ (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) < (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
129	98, 85, 91, 128	mp3an12i 1420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (1 < 2 ↔ (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) < (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
130	127, 129	mpbii 222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) < (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
131	130	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) < (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
132	84, 101, 103, 126, 131	lelttrd 10074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (#‘dom 𝐹) < (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
133		fidomdm 8128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ≼ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))
134	86, 133	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ≼ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))
135		hashdom 13029	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin ∧ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin) → ((#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ≼ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
136	88, 86, 135	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ≼ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
137	134, 136	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
138		hashcl 13009	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℕ0)
139	86, 138	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℕ0)
140	139	nn0red 11229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ)
141		leadd2 10376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ ∧ (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
142	85, 141	mp3an3 1405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ ∧ (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ) → ((#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
143	91, 140, 142	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
144	137, 143	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
145	144	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
146		prfi 8120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∈ Fin
147		disjdif 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∩ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = ∅
148		hashun 13032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∈ Fin ∧ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin ∧ ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∩ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = ∅) → (#‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = ((#‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
149	146, 147, 148	mp3an13 1407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → (#‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = ((#‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
150	86, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (#‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = ((#‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
151	150	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (#‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = ((#‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
152	109	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → (#‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (#‘𝐹))
153	152	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (#‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (#‘𝐹))
154	53, 112	opth 4871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑧⟩ ↔ (𝑥 = 𝑥 ∧ 𝑦 = 𝑧))
155	154	simprbi 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑧⟩ → 𝑦 = 𝑧)
156	155	necon3i 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑧 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ≠ ⟨𝑥, 𝑧⟩)
157		hashprg 13043	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ V ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ V) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ≠ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ↔ (#‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) = 2))
158	105, 106, 157	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ≠ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ↔ (#‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) = 2)
159	156, 158	sylib 207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑧 → (#‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) = 2)
160	159	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑧 → ((#‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (2 + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
161	160	ad2antll 761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ((#‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (2 + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
162	151, 153, 161	3eqtr3rd 2653	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (2 + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (#‘𝐹))
163	145, 162	breqtrd 4609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (#‘𝐹))
164	84, 94, 97, 132, 163	ltletrd 10076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (#‘dom 𝐹) < (#‘𝐹))
165	84, 164	gtned 10051	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (#‘𝐹) ≠ (#‘dom 𝐹))
166	165	ex 449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (#‘𝐹) ≠ (#‘dom 𝐹)))
167	166	exlimdv 1848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (#‘𝐹) ≠ (#‘dom 𝐹)))
168	167	exlimdvv 1849	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (∃𝑥∃𝑦∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (#‘𝐹) ≠ (#‘dom 𝐹)))
169	83, 168	syl5bi 231	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (¬ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) → (#‘𝐹) ≠ (#‘dom 𝐹)))
170	169	necon4bd 2802	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹) → ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧)))
171	170	imp 444	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ (#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹)) → ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
172		dffun4 5816	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ (Rel 𝐹 ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧)))
173	73, 171, 172	sylanbrc 695	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ (#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹)) → Fun 𝐹)
174	173	ex 449	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹) → Fun 𝐹))
175	3, 174	impbid2 215	1 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (Fun 𝐹 ↔ (#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031  ∀wal 1473   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   × cxp 5036  dom cdm 5038  Rel wrel 5043  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ≼ cdom 7839  Fincfn 7841  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  #chash 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980

This theorem is referenced by:  ccatalpha  13228  cusgrasizeinds  26004