Theorem dmfi 8129

Description: The domain of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dmfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem dmfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidomdm 8128	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ≼ 𝐴)
2		domfi 8066	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ dom 𝐴 ≼ 𝐴) → dom 𝐴 ∈ Fin)
3	1, 2	mpdan 699	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  dom cdm 5038   ≼ cdom 7839  Fincfn 7841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-fin 7845

This theorem is referenced by:  fundmfibi  8130  rnfi  8132  hashfun  13084  psgnprfval  17764  gsum2dlem2  18193  gsum2d  18194  tsmsxp  21768  usgrafilem2  25941  nbusgrafi  25977  cusgrasizeindslem2  26003  cusgrasizeinds  26004  vdusgra0nedg  26435  usgfidegfi  26437  hashnbgravd  26439  vdn0frgrav2  26550  vdn1frgrav2  26552  relfi  28797  esum2d  29482  etransclem27  39154  residfi  40340