Theorem fnmpt 5933

Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptfng.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fnmpt	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fnmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3185	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
2	1	ralimi 2936	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
3		mptfng.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	mptfng 5932	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V ↔ 𝐹 Fn 𝐴)
5	2, 4	sylib 207	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ↦ cmpt 4643   Fn wfn 5799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-fun 5806  df-fn 5807

This theorem is referenced by:  mpt0  5934  fnmptfvd  6228  ralrnmpt  6276  fmpt  6289  fmpt2d  6300  f1ocnvd  6782  offval2  6812  ofrfval2  6813  mptelixpg  7831  fifo  8221  cantnflem1  8469  infmap2  8923  compssiso  9079  gruiun  9500  mptnn0fsupp  12659  mptnn0fsuppr  12661  seqof  12720  rlimi2  14093  prdsbas3  15964  prdsbascl  15966  prdsdsval2  15967  quslem  16026  fnmrc  16090  isofn  16258  pmtrrn  17700  pmtrfrn  17701  pmtrdifwrdellem2  17725  gsummptcl  18189  mptscmfsupp0  18751  ofco2  20076  pmatcollpw2lem  20401  neif  20714  tgrest  20773  cmpfi  21021  elptr2  21187  xkoptsub  21267  ptcmplem2  21667  ptcmplem3  21668  prdsxmetlem  21983  prdsxmslem2  22144  bcth3  22936  uniioombllem6  23162  itg2const  23313  ellimc2  23447  dvrec  23524  dvmptres3  23525  ulmss  23955  ulmdvlem1  23958  ulmdvlem2  23959  ulmdvlem3  23960  itgulm2  23967  psercn  23984  f1o3d  28813  f1od2  28887  psgnfzto1stlem  29181  rmulccn  29302  esumnul  29437  esum0  29438  gsumesum  29448  ofcfval2  29493  signsplypnf  29953  signsply0  29954  matunitlindflem1  32575  matunitlindflem2  32576  cdlemk56  35277  dicfnN  35490  hbtlem7  36714  refsumcn  38212  wessf1ornlem  38366  choicefi  38387  axccdom  38411  fsumsermpt  38646  stoweidlem31  38924  stoweidlem59  38952  stirlinglem13  38979  dirkercncflem2  38997  fourierdlem62  39061  subsaliuncllem  39251  subsaliuncl  39252  hoidmvlelem3  39487  dfafn5b  39890  lincresunit2  42061