Theorem itgulm2 23967

Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgulm2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
itgulm2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
itgulm2.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℂ))
itgulm2.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
itgulm2.u	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(⇝𝑢‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
itgulm2.s	⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itgulm2	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥) ⇝ ∫𝑆𝐵 d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝜑   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem itgulm2

Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgulm2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		itgulm2.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		itgulm2.l	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
4		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
5	3, 4	fmptd 6292	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):𝑍⟶𝐿1)
6		itgulm2.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(⇝𝑢‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
7		itgulm2.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
8	1, 2, 5, 6, 7	iblulm 23965	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
9	1, 2, 5, 6, 7	itgulm 23966	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧) ⇝ ∫𝑆((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑧) d𝑧)
10		nfcv 2751	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑆
11		nffvmpt1 6111	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)
12		nfcv 2751	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑧
13	11, 12	nffv 6110	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧)
14	10, 13	nfitg 23347	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧
15		nfcv 2751	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥
16		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥))
17		nfcv 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
18		nfmpt1 4675	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
19	17, 18	nfmpt 4674	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
20		nfcv 2751	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑛
21	19, 20	nffv 6110	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)
22		nfcv 2751	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
23	21, 22	nffv 6110	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧)
24		nfcv 2751	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥)
25	16, 23, 24	cbvitg 23348	. . . . . 6 ⊢ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥) d𝑥
26		fveq2 6103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘))
27	26	fveq1d 6105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥))
28	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥) = (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥))
29	28	itgeq2dv 23354	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)
30	25, 29	syl5eq 2656	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)
31	14, 15, 30	cbvmpt 4677	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)
32		simplr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ 𝑍)
33		ulmscl 23937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(⇝𝑢‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) → 𝑆 ∈ V)
34		mptexg 6389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
35	6, 33, 34	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
36	35	ad2antrr 758	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
37	4	fvmpt2 6200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
38	32, 36, 37	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
39	38	fveq1d 6105	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑥))
40		simpr 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
41	35	ralrimivw 2950	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V)
42	4	fnmpt 5933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ V → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍)
44		ulmf2 23942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(⇝𝑢‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)) → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
45	43, 6, 44	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
46	4	fmpt 6289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)):𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
47	45, 46	sylibr 223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
48	47	r19.21bi 2916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
49		elmapi 7765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℂ)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℂ)
51		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
52	51	fmpt 6289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℂ)
53	50, 52	sylibr 223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℂ)
54	53	r19.21bi 2916	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
55	51	fvmpt2 6200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
56	40, 54, 55	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
57	39, 56	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) = 𝐴)
58	57	itgeq2dv 23354	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆𝐴 d𝑥)
59	58	mpteq2dva 4672	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥))
60	31, 59	syl5eq 2656	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆(((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))‘𝑛)‘𝑧) d𝑧) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥))
61		fveq2 6103	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥))
62		nffvmpt1 6111	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑧)
63		nfcv 2751	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥)
64	61, 62, 63	cbvitg 23348	. . . 4 ⊢ ∫𝑆((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥) d𝑥
65		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
66		ulmcl 23939	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))(⇝𝑢‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵):𝑆⟶ℂ)
67	6, 66	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵):𝑆⟶ℂ)
68		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)
69	68	fmpt 6289	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵):𝑆⟶ℂ)
70	67, 69	sylibr 223	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℂ)
71	70	r19.21bi 2916	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
72	68	fvmpt2 6200	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
73	65, 71, 72	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
74	73	itgeq2dv 23354	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝑆((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆𝐵 d𝑥)
75	64, 74	syl5eq 2656	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝑆((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)‘𝑧) d𝑧 = ∫𝑆𝐵 d𝑥)
76	9, 60, 75	3brtr3d 4614	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥) ⇝ ∫𝑆𝐵 d𝑥)
77	8, 76	jca 553	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆𝐴 d𝑥) ⇝ ∫𝑆𝐵 d𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744  ℂcc 9813  ℝcr 9814  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563   ⇝ cli 14063  –cn→ccncf 22487  volcvol 23039  𝐿¹cibl 23192  ∫citg 23193  ⇝_𝑢culm 23934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-ibl 23197  df-itg 23198  df-0p 23243  df-ulm 23935

This theorem is referenced by: (None)