Theorem expcl 12740

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3587	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 9899	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 9873	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 12733	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℕ₀cn0 11169  ↑cexp 12722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723

This theorem is referenced by:  expeq0  12752  expnegz  12756  mulexp  12761  mulexpz  12762  expadd  12764  expaddzlem  12765  expaddz  12766  expmul  12767  expmulz  12768  expdiv  12773  binom3  12847  digit2  12859  digit1  12860  expcld  12870  faclbnd2  12940  faclbnd4lem4  12945  faclbnd6  12948  cjexp  13738  absexp  13892  ackbijnn  14399  binomlem  14400  binom1p  14402  binom1dif  14404  expcnv  14435  geolim  14440  geolim2  14441  geo2sum  14443  geomulcvg  14446  geoisum  14447  geoisumr  14448  geoisum1  14449  geoisum1c  14450  0.999...  14451  0.999...OLD  14452  fallrisefac  14595  0risefac  14608  binomrisefac  14612  bpolysum  14623  bpolydiflem  14624  fsumkthpow  14626  bpoly3  14628  bpoly4  14629  fsumcube  14630  eftcl  14643  eftabs  14645  efcllem  14647  efcj  14661  efaddlem  14662  eflegeo  14690  efi4p  14706  prmreclem6  15463  decsplitOLD  15629  karatsuba  15630  karatsubaOLD  15631  expmhm  19634  mbfi1fseqlem6  23293  itg0  23352  itgz  23353  itgcl  23356  itgcnlem  23362  itgsplit  23408  dvexp  23522  dvexp3  23545  plyf  23758  ply1termlem  23763  plypow  23765  plyeq0lem  23770  plypf1  23772  plyaddlem1  23773  plymullem1  23774  coeeulem  23784  coeidlem  23797  coeid3  23800  plyco  23801  dgrcolem2  23834  plycjlem  23836  plyrecj  23839  vieta1  23871  elqaalem3  23880  aareccl  23885  aalioulem1  23891  geolim3  23898  psergf  23970  dvradcnv  23979  psercn2  23981  pserdvlem2  23986  pserdv2  23988  abelthlem4  23992  abelthlem5  23993  abelthlem6  23994  abelthlem7  23996  abelthlem9  23998  advlogexp  24201  logtayllem  24205  logtayl  24206  logtaylsum  24207  logtayl2  24208  cxpeq  24298  dcubic1lem  24370  dcubic2  24371  dcubic1  24372  dcubic  24373  mcubic  24374  cubic2  24375  cubic  24376  binom4  24377  dquartlem2  24379  dquart  24380  quart1cl  24381  quart1lem  24382  quart1  24383  quartlem1  24384  quartlem2  24385  quart  24388  atantayl  24464  atantayl2  24465  atantayl3  24466  leibpi  24469  log2cnv  24471  log2tlbnd  24472  log2ublem3  24475  ftalem1  24599  ftalem4  24602  ftalem5  24603  basellem3  24609  musum  24717  1sgmprm  24724  perfect  24756  lgsquadlem1  24905  rplogsumlem2  24974  ostth2lem2  25123  numclwlk3lem3  26600  ipval2  26946  dipcl  26951  dipcn  26959  subfacval2  30423  jm2.23  36581  lhe4.4ex1a  37550  perfectALTV  40166  av-numclwlk3lem3  41506  altgsumbc  41923  altgsumbcALT  41924  nn0digval  42192