Theorem binom2 12841

Description: The square of a binomial. (Contributed by FL, 10-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
binom2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))

Proof of Theorem binom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6556	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴 + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵))
2	1	oveq1d 6564	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵)↑2))
3		oveq1 6556	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴↑2) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2))
4		oveq1 6556	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴 · 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))
5	4	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) = (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵)))
6	3, 5	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))))
7	6	oveq1d 6564	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
8	2, 7	eqeq12d 2625	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵)↑2) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))) + (𝐵↑2))))
9		oveq2 6557	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))
10	9	oveq1d 6564	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))↑2))
11		oveq2 6557	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))
12	11	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵)) = (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))))
13	12	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))))
14		oveq1 6556	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (𝐵↑2) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2))
15	13, 14	oveq12d 6567	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))) + (𝐵↑2)) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))) + (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2)))
16	10, 15	eqeq12d 2625	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵)↑2) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))) + (𝐵↑2)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))↑2) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))) + (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2))))
17		0cn 9911	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
18	17	elimel 4100	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ∈ ℂ
19	17	elimel 4100	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℂ
20	18, 19	binom2i 12836	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))↑2) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))) + (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2))
21	8, 16, 20	dedth2h 4090	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ifcif 4036  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   + caddc 9818   · cmul 9820  2c2 10947  ↑cexp 12722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723

This theorem is referenced by:  binom21  12842  binom2sub  12843  mulbinom2  12846  binom3  12847  sqrlem7  13837  abstri  13918  sqreulem  13947  amgm2  13957  pythagtriplem1  15359  pythagtriplem12  15369  tchcphlem1  22842  csbren  22990  trirn  22991  tanarg  24169  heron  24365  quad2  24366  dquartlem2  24379  dquart  24380  quart1  24383  stirlinglem10  38976