Theorem atlatmstc 33624

Description: An atomic, complete, orthomodular lattice is atomistic i.e. every element is the join of the atoms under it. See remark before Proposition 1 in [Kalmbach] p. 140; also remark in [BeltramettiCassinelli] p. 98. (hatomistici 28605 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atlatmstc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlatmstc.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atlatmstc.u	⊢ 1 = (lub‘𝐾)
atlatmstc.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atlatmstc	⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦, ≤   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   1 (𝑦)   𝐾(𝑦)

Proof of Theorem atlatmstc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1058	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
2		ssrab2 3650	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ⊆ 𝐵
3		atlatmstc.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		atlatmstc.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atssbase 33595	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵
6		rabss2 3648	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ⊆ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ⊆ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}
8		atlatmstc.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		atlatmstc.u	. . . . . 6 ⊢ 1 = (lub‘𝐾)
10	3, 8, 9	lubss 16944	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ⊆ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))
11	2, 7, 10	mp3an23 1408	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))
12	1, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))
13		atlpos 33606	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
14	13	3ad2ant3 1077	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) → 𝐾 ∈ Poset)
15		simpl 472	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
16		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	3, 8, 9, 15, 16	lubid 16813	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) = 𝑋)
18	14, 17	sylan 487	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) = 𝑋)
19	12, 18	breqtrd 4609	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ≤ 𝑋)
20		breq1 4586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ 𝑋 ↔ 𝑥 ≤ 𝑋))
21	20	elrab 3331	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑋))
22		simpll2 1094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) → 𝐾 ∈ CLat)
23		ssrab2 3650	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ⊆ 𝐴
24	23, 5	sstri 3577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ⊆ 𝐵
25	3, 8, 9	lubel 16945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ∧ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ⊆ 𝐵) → 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))
26	24, 25	mp3an3 1405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) → 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))
27	22, 26	sylancom 698	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) → 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))
28	27	ex 449	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} → 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))
29	21, 28	syl5bir 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑋) → 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))
30	29	expdimp 452	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝑋 → 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))
31		simpll3 1095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
32		eqid 2610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
33	32, 4	atn0 33613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ (0.‘𝐾))
34	31, 33	sylancom 698	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ (0.‘𝐾))
35	34	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) → 𝑥 ≠ (0.‘𝐾))
36		simpl3 1059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
37		atllat 33605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Lat)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
40	3, 4	atbase 33594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵)
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
42	3, 9	clatlubcl 16935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋} ⊆ 𝐵) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∈ 𝐵)
43	1, 24, 42	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∈ 𝐵)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∈ 𝐵)
45		simpl1 1057	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OML)
46		omlop 33546	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OP)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
48		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
49	3, 48	opoccl 33499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) ∈ 𝐵)
50	47, 43, 49	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) ∈ 𝐵)
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) ∈ 𝐵)
52		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
53	3, 8, 52	latlem12 16901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∧ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ↔ 𝑥 ≤ (( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))))
54	39, 41, 44, 51, 53	syl13anc 1320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∧ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ↔ 𝑥 ≤ (( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))))
55	3, 48, 52, 32	opnoncon 33513	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∈ 𝐵) → (( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) = (0.‘𝐾))
56	47, 43, 55	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) = (0.‘𝐾))
57	56	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≤ (( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ↔ 𝑥 ≤ (0.‘𝐾)))
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ (( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ↔ 𝑥 ≤ (0.‘𝐾)))
59	3, 8, 32	ople0 33492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≤ (0.‘𝐾) ↔ 𝑥 = (0.‘𝐾)))
60	47, 40, 59	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ (0.‘𝐾) ↔ 𝑥 = (0.‘𝐾)))
61	54, 58, 60	3bitrd 293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∧ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ↔ 𝑥 = (0.‘𝐾)))
62	61	biimpa 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∧ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))) → 𝑥 = (0.‘𝐾))
63	62	expr 641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) → (𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) → 𝑥 = (0.‘𝐾)))
64	63	necon3ad 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) → (𝑥 ≠ (0.‘𝐾) → ¬ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))))
65	35, 64	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) → ¬ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))
66	65	ex 449	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) → ¬ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))))
67	30, 66	syld 46	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝑋 → ¬ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))))
68		imnan 437	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≤ 𝑋 → ¬ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ↔ ¬ (𝑥 ≤ 𝑋 ∧ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))))
69	67, 68	sylib 207	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑥 ≤ 𝑋 ∧ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))))
70		simplr 788	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
71	3, 8, 52	latlem12 16901	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ≤ 𝑋 ∧ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ↔ 𝑥 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))))
72	39, 41, 70, 51, 71	syl13anc 1320	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≤ 𝑋 ∧ 𝑥 ≤ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ↔ 𝑥 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))))
73	69, 72	mtbid 313	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))))
74	73	nrexdv 2984	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))))
75		simpll3 1095	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾)) → 𝐾 ∈ AtLat)
76		simpr 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
77	3, 52	latmcl 16875	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})) ∈ 𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ∈ 𝐵)
78	38, 76, 50, 77	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ∈ 𝐵)
79	78	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ∈ 𝐵)
80		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾))
81	3, 8, 32, 4	atlex 33621	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))))
82	75, 79, 80, 81	syl3anc 1318	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))))
83	82	ex 449	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) ≠ (0.‘𝐾) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋})))))
84	83	necon1bd 2800	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) = (0.‘𝐾)))
85	74, 84	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) = (0.‘𝐾))
86	3, 8, 52, 48, 32	omllaw3 33550	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ≤ 𝑋 ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) = (0.‘𝐾)) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) = 𝑋))
87	45, 43, 76, 86	syl3anc 1318	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) ≤ 𝑋 ∧ (𝑋(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}))) = (0.‘𝐾)) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) = 𝑋))
88	19, 85, 87	mp2and 711	1 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ‘{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ≤ 𝑋}) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  {crab 2900   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  occoc 15776  Posetcpo 16763  lubclub 16765  meetcmee 16768  0.cp0 16860  Latclat 16868  CLatccla 16930  OPcops 33477  OMLcoml 33480  Atomscatm 33568  AtLatcal 33569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603

This theorem is referenced by:  atlatle  33625  hlatmstcOLDN  33701  pmaple  34065  pol1N  34214  polpmapN  34216  pmaplubN  34228