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Theorem atlatmstc 28198
Description: An atomic, complete, orthomodular lattice is atomistic i.e. every element is the join of the atoms under it. See remark before Proposition 1 in [Kalmbach] p. 140; also remark in [BeltramettiCassinelli] p. 98. (hatomistici 22772 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atlatmstc.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
atlatmstc.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
atlatmstc.u  |-  .1.  =  ( lub `  K )
atlatmstc.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
atlatmstc  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  =  X )
Distinct variable groups:    y,  .<_    y, A    y, B    y, X
Allowed substitution hints:    .1. ( y)    K( y)

Proof of Theorem atlatmstc
StepHypRef Expression
1 simpl2 964 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  CLat )
2 ssrab2 3179 . . . . 5  |-  { y  e.  B  |  y 
.<_  X }  C_  B
3 atlatmstc.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 atlatmstc.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
53, 4atssbase 28169 . . . . . 6  |-  A  C_  B
6 rabss2 3177 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  { y  e.  A  |  y 
.<_  X }  C_  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } )
75, 6ax-mp 10 . . . . 5  |-  { y  e.  A  |  y 
.<_  X }  C_  { y  e.  B  |  y 
.<_  X }
8 atlatmstc.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
9 atlatmstc.u . . . . . 6  |-  .1.  =  ( lub `  K )
103, 8, 9lubss 14069 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X }  C_  B  /\  { y  e.  A  |  y  .<_  X }  C_  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } )  -> 
(  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) 
.<_  (  .1.  `  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X } ) )
112, 7, 10mp3an23 1274 . . . 4  |-  ( K  e.  CLat  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  .<_  (  .1.  `  { y  e.  B  |  y  .<_  X }
) )
121, 11syl 17 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  .<_  (  .1.  `  { y  e.  B  |  y  .<_  X }
) )
13 atlpos 28180 . . . . 5  |-  ( K  e.  AtLat  ->  K  e.  Poset
)
14133ad2ant3 983 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  ->  K  e.  Poset )
153, 8, 9lubid 13960 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  B  |  y  .<_  X } )  =  X )
1614, 15sylan 459 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  B  |  y  .<_  X } )  =  X )
1712, 16breqtrd 3944 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  .<_  X )
18 breq1 3923 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
y  .<_  X  <->  x  .<_  X ) )
1918elrab 2860 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { y  e.  A  |  y  .<_  X }  <->  ( x  e.  A  /\  x  .<_  X ) )
20 simpll2 1000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  { y  e.  A  |  y 
.<_  X } )  ->  K  e.  CLat )
21 ssrab2 3179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  A  |  y 
.<_  X }  C_  A
2221, 5sstri 3109 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  A  |  y 
.<_  X }  C_  B
233, 8, 9lubel 14070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  x  e.  { y  e.  A  |  y  .<_  X }  /\  { y  e.  A  |  y  .<_  X }  C_  B )  ->  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) )
2422, 23mp3an3 1271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  x  e.  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  ->  x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) )
2520, 24sylancom 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  { y  e.  A  |  y 
.<_  X } )  ->  x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) )
2625ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
x  e.  { y  e.  A  |  y 
.<_  X }  ->  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) ) )
2719, 26syl5bir 211 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
( x  e.  A  /\  x  .<_  X )  ->  x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )
2827expdimp 428 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  .<_  X  ->  x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )
29 simpll3 1001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  K  e.  AtLat
)
30 eqid 2253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
3130, 4atn0 28187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  x  e.  A )  ->  x  =/=  ( 0. `  K
) )
3229, 31sylancom 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  x  =/=  ( 0. `  K ) )
3332adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A )  /\  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) )  ->  x  =/=  ( 0. `  K ) )
34 simpl3 965 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  AtLat )
35 atllat 28179 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  AtLat  ->  K  e.  Lat )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
3736adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  K  e.  Lat )
383, 4atbase 28168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  B )
3938adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  B )
403, 9clatlubcl 14061 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X }  C_  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  e.  B
)
411, 22, 40sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  e.  B
)
4241adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  e.  B )
43 simpl1 963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  OML )
44 omlop 28120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OP )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  OP )
46 eqid 2253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
473, 46opoccl 28073 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  OP  /\  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  e.  B )  ->  (
( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) )  e.  B
)
4845, 41, 47syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) )  e.  B
)
4948adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) )  e.  B )
50 eqid 2253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
513, 8, 50latlem12 14028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } )  e.  B  /\  (
( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) )  e.  B
) )  ->  (
( x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  /\  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  <->  x  .<_  ( (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) ) )
5237, 39, 42, 49, 51syl13anc 1189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  /\  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  <->  x  .<_  ( (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) ) )
533, 46, 50, 30opnoncon 28087 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  OP  /\  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  e.  B )  ->  (
(  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )
5445, 41, 53syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
(  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )
5554breq2d 3932 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
x  .<_  ( (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  <->  x  .<_  ( 0.
`  K ) ) )
5655adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  .<_  ( (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  <->  x  .<_  ( 0.
`  K ) ) )
573, 8, 30ople0 28066 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  B )  ->  ( x  .<_  ( 0.
`  K )  <->  x  =  ( 0. `  K ) ) )
5845, 38, 57syl2an 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  .<_  ( 0. `  K
)  <->  x  =  ( 0. `  K ) ) )
5952, 56, 583bitrd 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  /\  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  <->  x  =  ( 0. `  K ) ) )
6059biimpa 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A )  /\  (
x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  /\  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) ) )  ->  x  =  ( 0. `  K ) )
6160expr 601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A )  /\  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) )  ->  ( x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) )  ->  x  =  ( 0. `  K ) ) )
6261necon3ad 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A )  /\  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) )  ->  ( x  =/=  ( 0. `  K
)  ->  -.  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) )
6333, 62mpd 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A )  /\  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) )  ->  -.  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )
6463ex 425 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } )  ->  -.  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) ) )
6528, 64syld 42 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  .<_  X  ->  -.  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) )
66 imnan 413 . . . . . 6  |-  ( ( x  .<_  X  ->  -.  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  <->  -.  ( x  .<_  X  /\  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) ) )
6765, 66sylib 190 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  -.  (
x  .<_  X  /\  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) )
68 simplr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  X  e.  B )
693, 8, 50latlem12 14028 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  X  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) )  e.  B ) )  -> 
( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  <->  x  .<_  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) ) )
7037, 39, 68, 49, 69syl13anc 1189 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
x  .<_  X  /\  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  <-> 
x  .<_  ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) ) )
7167, 70mtbid 293 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  -.  x  .<_  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) ) )
7271nrexdv 2608 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  -.  E. x  e.  A  x 
.<_  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) ) )
73 simpll3 1001 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  =/=  ( 0. `  K
) )  ->  K  e.  AtLat )
74 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
753, 50latmcl 14001 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) )  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  e.  B )
7636, 74, 48, 75syl3anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  e.  B )
7776adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  =/=  ( 0. `  K
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  e.  B )
78 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  =/=  ( 0. `  K
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =/=  ( 0.
`  K ) )
793, 8, 30, 4atlex 28195 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  e.  B  /\  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =/=  ( 0.
`  K ) )  ->  E. x  e.  A  x  .<_  ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) )
8073, 77, 78, 79syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  =/=  ( 0. `  K
) )  ->  E. x  e.  A  x  .<_  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) )
8180ex 425 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  =/=  ( 0. `  K
)  ->  E. x  e.  A  x  .<_  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) ) )
8281necon1bd 2480 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  ( -.  E. x  e.  A  x  .<_  ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  ->  ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0. `  K ) ) )
8372, 82mpd 16 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )
843, 8, 50, 46, 30omllaw3 28124 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  .<_  X  /\  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  =  X ) )
8543, 41, 74, 84syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
( (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  .<_  X  /\  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  =  X ) )
8617, 83, 85mp2and 663 1  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   E.wrex 2510   {crab 2512    C_ wss 3078   class class class wbr 3920   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   Basecbs 13022   lecple 13089   occoc 13090   Posetcpo 13918   lubclub 13920   meetcmee 13923   0.cp0 13987   Latclat 13995   CLatccla 14057   OPcops 28051   OMLcoml 28054   Atomscatm 28142   AtLatcal 28143
This theorem is referenced by:  atlatle  28199  hlatmstcOLDN  28275  pmaple  28639  pol1N  28788  polpmapN  28790  pmaplubN  28802
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-undef 6182  df-riota 6190  df-poset 13924  df-plt 13936  df-lub 13952  df-glb 13953  df-join 13954  df-meet 13955  df-p0 13989  df-lat 13996  df-clat 14058  df-oposet 28055  df-ol 28057  df-oml 28058  df-covers 28145  df-ats 28146  df-atl 28177
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