upgr4cycl4dv4e - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem upgr4cycl4dv4e 41352

Description: If there is a cycle of length 4 in a pseudograph, there are four (different) vertices in the graph which are mutually connected by edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.) (Revised by AV, 13-Feb-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
upgr4cycl4dv4e.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgr4cycl4dv4e.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
upgr4cycl4dv4e	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(CycleS‘𝐺)𝑃 ∧ (#‘𝐹) = 4) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))))

Distinct variable groups: 𝐸,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 𝑃,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 𝑉,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 Allowed substitution hints: 𝐹(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑) 𝐺(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem upgr4cycl4dv4e Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cyclprop 40999	. . 3 ⊢ (𝐹(CycleS‘𝐺)𝑃 → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
2		pthis1wlk 40933	. . . . 5 ⊢ (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
3		upgr4cycl4dv4e.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4	3	upgr1wlkvtxedg 40853	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸)
5		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝐹) = 4 → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘4))
6	5	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝐹) = 4 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘4)))
7	6	anbi2d 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝐹) = 4 → ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) ↔ (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘4))))
8		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝐹) = 4 → (0..^(#‘𝐹)) = (0..^4))
9		fzo0to42pr 12422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
10	8, 9	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝐹) = 4 → (0..^(#‘𝐹)) = ({0, 1} ∪ {2, 3}))
11	10	raleqdv 3121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝐹) = 4 → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3}){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸))
12		ralunb 3756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3}){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸))
13		c0ex 9913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ V
14		1ex 9914	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ V
15		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
16		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = (0 + 1))
17		0p1e1 11009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0 + 1) = 1
18	16, 17	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = 1)
19	18	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
20	15, 19	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 0 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
21	20	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 0 → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸))
22		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘1))
23		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = (1 + 1))
24		1p1e2 11011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 + 1) = 2
25	23, 24	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = 2)
26	25	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘2))
27	22, 26	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 1 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
28	27	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 1 → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸))
29	13, 14, 21, 28	ralpr 4185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0, 1} {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸))
30		2ex 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ V
31		3ex 10973	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ V
32		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘2))
33		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 + 1) = (2 + 1))
34		2p1e3 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 + 1) = 3
35	33, 34	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 + 1) = 3)
36	35	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘3))
37	32, 36	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 2 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘2), (𝑃‘3)})
38	37	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 2 → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸))
39		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘3))
40		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝑘 + 1) = (3 + 1))
41		3p1e4 11030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (3 + 1) = 4
42	40, 41	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝑘 + 1) = 4)
43	42	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘4))
44	39, 43	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 3 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘3), (𝑃‘4)})
45	44	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 3 → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸))
46	30, 31, 38, 45	ralpr 4185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑘 ∈ {2, 3} {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸))
47	29, 46	anbi12i 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∀𝑘 ∈ {0, 1} {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸) ↔ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸)))
48	12, 47	bitri 263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3}){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸)))
49	11, 48	syl6bb 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝐹) = 4 → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸))))
50	7, 49	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝐹) = 4 → (((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸) ↔ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘4)) ∧ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸)))))
51		preq2 4213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃‘4) = (𝑃‘0) → {(𝑃‘3), (𝑃‘4)} = {(𝑃‘3), (𝑃‘0)})
52	51	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃‘4) = (𝑃‘0) → ({(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))
53	52	eqcoms 2618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘4) → ({(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))
54	53	anbi2d 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘4) → (({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸) ↔ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)))
55	54	anbi2d 736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘4) → ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸)) ↔ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))))
56	55	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((#‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘4)) → ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸)) ↔ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))))
57		4nn0 11188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((#‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) → 4 ∈ ℕ₀)
59		upgr4cycl4dv4e.v	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
60	59	1wlkp 40821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
61		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((#‘𝐹) = 4 → (0...(#‘𝐹)) = (0...4))
62	61	feq2d 5944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((#‘𝐹) = 4 → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ↔ 𝑃:(0...4)⟶𝑉))
63	62	biimpcd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ((#‘𝐹) = 4 → 𝑃:(0...4)⟶𝑉))
64	2, 60, 63	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → ((#‘𝐹) = 4 → 𝑃:(0...4)⟶𝑉))
65	64	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((#‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) → 𝑃:(0...4)⟶𝑉)
66		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (4 ∈ ℕ₀ → 4 ∈ ℕ₀)
67		0nn0 11184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ∈ ℕ₀
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (4 ∈ ℕ₀ → 0 ∈ ℕ₀)
69		4pos 10993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 < 4
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (4 ∈ ℕ₀ → 0 < 4)
71	66, 68, 70	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (4 ∈ ℕ₀ → (4 ∈ ℕ₀ ∧ 0 ∈ ℕ₀ ∧ 0 < 4))
72		fvffz0 12326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((4 ∈ ℕ₀ ∧ 0 ∈ ℕ₀ ∧ 0 < 4) ∧ 𝑃:(0...4)⟶𝑉) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
73	71, 72	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((4 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑃:(0...4)⟶𝑉) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
74	73	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((#‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ (4 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑃:(0...4)⟶𝑉)) ∧ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
75		1nn0 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (4 ∈ ℕ₀ → 1 ∈ ℕ₀)
77		1lt4 11076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 < 4
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (4 ∈ ℕ₀ → 1 < 4)
79	66, 76, 78	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (4 ∈ ℕ₀ → (4 ∈ ℕ₀ ∧ 1 ∈ ℕ₀ ∧ 1 < 4))
80		fvffz0 12326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((4 ∈ ℕ₀ ∧ 1 ∈ ℕ₀ ∧ 1 < 4) ∧ 𝑃:(0...4)⟶𝑉) → (𝑃‘1) ∈ 𝑉)
81	79, 80	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((4 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑃:(0...4)⟶𝑉) → (𝑃‘1) ∈ 𝑉)
82	81	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((#‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ (4 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑃:(0...4)⟶𝑉)) ∧ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))) → (𝑃‘1) ∈ 𝑉)
83		2nn0 11186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (4 ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℕ₀)
85		2lt4 11075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 2 < 4
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (4 ∈ ℕ₀ → 2 < 4)
87	66, 84, 86	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (4 ∈ ℕ₀ → (4 ∈ ℕ₀ ∧ 2 ∈ ℕ₀ ∧ 2 < 4))
88		fvffz0 12326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((4 ∈ ℕ₀ ∧ 2 ∈ ℕ₀ ∧ 2 < 4) ∧ 𝑃:(0...4)⟶𝑉) → (𝑃‘2) ∈ 𝑉)
89	87, 88	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((4 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑃:(0...4)⟶𝑉) → (𝑃‘2) ∈ 𝑉)
90	89	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((#‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ (4 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑃:(0...4)⟶𝑉)) ∧ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))) → (𝑃‘2) ∈ 𝑉)
91		3nn0 11187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (4 ∈ ℕ₀ → 3 ∈ ℕ₀)
93		3lt4 11074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 3 < 4
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (4 ∈ ℕ₀ → 3 < 4)
95	66, 92, 94	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (4 ∈ ℕ₀ → (4 ∈ ℕ₀ ∧ 3 ∈ ℕ₀ ∧ 3 < 4))
96		fvffz0 12326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((4 ∈ ℕ₀ ∧ 3 ∈ ℕ₀ ∧ 3 < 4) ∧ 𝑃:(0...4)⟶𝑉) → (𝑃‘3) ∈ 𝑉)
97	95, 96	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((4 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑃:(0...4)⟶𝑉) → (𝑃‘3) ∈ 𝑉)
98	97	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((#‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ (4 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑃:(0...4)⟶𝑉)) ∧ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))) → (𝑃‘3) ∈ 𝑉)
99		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((#‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ (4 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑃:(0...4)⟶𝑉)) ∧ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))) → (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)))
100		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((#‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ (4 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑃:(0...4)⟶𝑉)) → 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃)
101		breq2 4587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((#‘𝐹) = 4 → (1 < (#‘𝐹) ↔ 1 < 4))
102	77, 101	mpbiri 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝐹) = 4 → 1 < (#‘𝐹))
103	102	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((#‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ (4 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑃:(0...4)⟶𝑉)) → 1 < (#‘𝐹))
104		simpll 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((#‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ (4 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑃:(0...4)⟶𝑉)) → (#‘𝐹) = 4)
105	8	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((#‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ (4 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑃:(0...4)⟶𝑉)) → (0..^(#‘𝐹)) = (0..^4))
106		4nn 11064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ 4 ∈ ℕ
107		lbfzo0 12375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (0 ∈ (0..^4) ↔ 4 ∈ ℕ)
108	106, 107	mpbir 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 0 ∈ (0..^4)
109		eleq2 2677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((0..^(#‘𝐹)) = (0..^4) → (0 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ 0 ∈ (0..^4)))
110	108, 109	mpbiri 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((0..^(#‘𝐹)) = (0..^4) → 0 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
111	110	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(#‘𝐹)) = (0..^4)) → 0 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
112		pthdadjvtx 40936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ 0 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(0 + 1)))
113	111, 112	syl3an3 1353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ ((#‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(#‘𝐹)) = (0..^4))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(0 + 1)))
114		1e0p1 11428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 1 = (0 + 1)
115	114	fveq2i 6106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃‘1) = (𝑃‘(0 + 1))
116	115	neeq2i 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(0 + 1)))
117	113, 116	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ ((#‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(#‘𝐹)) = (0..^4))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
118		simp1 1054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ ((#‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(#‘𝐹)) = (0..^4))) → 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃)
119		elfzo0 12376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (2 ∈ (0..^4) ↔ (2 ∈ ℕ₀ ∧ 4 ∈ ℕ ∧ 2 < 4))
120	83, 106, 85, 119	mpbir3an 1237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 2 ∈ (0..^4)
121		2ne0 10990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 2 ≠ 0
122		fzo1fzo0n0 12386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (2 ∈ (1..^4) ↔ (2 ∈ (0..^4) ∧ 2 ≠ 0))
123	120, 121, 122	mpbir2an 957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 2 ∈ (1..^4)
124		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((#‘𝐹) = 4 → (1..^(#‘𝐹)) = (1..^4))
125	123, 124	syl5eleqr 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((#‘𝐹) = 4 → 2 ∈ (1..^(#‘𝐹)))
126		0elfz 12305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (4 ∈ ℕ₀ → 0 ∈ (0...4))
127	57, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 0 ∈ (0...4)
128	127, 61	syl5eleqr 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((#‘𝐹) = 4 → 0 ∈ (0...(#‘𝐹)))
129	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((#‘𝐹) = 4 → 2 ≠ 0)
130	125, 128, 129	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((#‘𝐹) = 4 → (2 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 2 ≠ 0))
131	130	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(#‘𝐹)) = (0..^4)) → (2 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 2 ≠ 0))
132	131	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ ((#‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(#‘𝐹)) = (0..^4))) → (2 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 2 ≠ 0))
133		pthdivtx 40935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (2 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 2 ≠ 0)) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘0))
134	118, 132, 133	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ ((#‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(#‘𝐹)) = (0..^4))) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘0))
135	134	necomd 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ ((#‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(#‘𝐹)) = (0..^4))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
136		elfzo0 12376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (3 ∈ (0..^4) ↔ (3 ∈ ℕ₀ ∧ 4 ∈ ℕ ∧ 3 < 4))
137	91, 106, 93, 136	mpbir3an 1237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 3 ∈ (0..^4)
138		3ne0 10992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 3 ≠ 0
139		fzo1fzo0n0 12386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (3 ∈ (1..^4) ↔ (3 ∈ (0..^4) ∧ 3 ≠ 0))
140	137, 138, 139	mpbir2an 957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 3 ∈ (1..^4)
141	140, 124	syl5eleqr 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((#‘𝐹) = 4 → 3 ∈ (1..^(#‘𝐹)))
142	138	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((#‘𝐹) = 4 → 3 ≠ 0)
143	141, 128, 142	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((#‘𝐹) = 4 → (3 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 3 ≠ 0))
144	143	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(#‘𝐹)) = (0..^4)) → (3 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 3 ≠ 0))
145	144	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ ((#‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(#‘𝐹)) = (0..^4))) → (3 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 3 ≠ 0))
146		pthdivtx 40935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (3 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 3 ≠ 0)) → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘0))
147	118, 145, 146	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ ((#‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(#‘𝐹)) = (0..^4))) → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘0))
148	147	necomd 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ ((#‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(#‘𝐹)) = (0..^4))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘3))
149	117, 135, 148	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ ((#‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(#‘𝐹)) = (0..^4))) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘3)))
150		elfzo0 12376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (1 ∈ (0..^4) ↔ (1 ∈ ℕ₀ ∧ 4 ∈ ℕ ∧ 1 < 4))
151	75, 106, 77, 150	mpbir3an 1237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 1 ∈ (0..^4)
152		eleq2 2677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((0..^(#‘𝐹)) = (0..^4) → (1 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ 1 ∈ (0..^4)))
153	151, 152	mpbiri 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((0..^(#‘𝐹)) = (0..^4) → 1 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
154	153	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(#‘𝐹)) = (0..^4)) → 1 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
155		pthdadjvtx 40936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ 1 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘(1 + 1)))
156	154, 155	syl3an3 1353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ ((#‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(#‘𝐹)) = (0..^4))) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘(1 + 1)))
157		df-2 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 2 = (1 + 1)
158	157	fveq2i 6106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃‘2) = (𝑃‘(1 + 1))
159	158	neeq2i 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘(1 + 1)))
160	156, 159	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ ((#‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(#‘𝐹)) = (0..^4))) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))
161		ax-1ne0 9884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 1 ≠ 0
162		fzo1fzo0n0 12386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (1 ∈ (1..^4) ↔ (1 ∈ (0..^4) ∧ 1 ≠ 0))
163	151, 161, 162	mpbir2an 957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ 1 ∈ (1..^4)
164	163, 124	syl5eleqr 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((#‘𝐹) = 4 → 1 ∈ (1..^(#‘𝐹)))
165		3re 10971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 3 ∈ ℝ
166		4re 10974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 4 ∈ ℝ
167	165, 166, 93	ltleii 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 3 ≤ 4
168		elfz2nn0 12300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (3 ∈ (0...4) ↔ (3 ∈ ℕ₀ ∧ 4 ∈ ℕ₀ ∧ 3 ≤ 4))
169	91, 57, 167, 168	mpbir3an 1237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ 3 ∈ (0...4)
170	169, 61	syl5eleqr 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((#‘𝐹) = 4 → 3 ∈ (0...(#‘𝐹)))
171		1re 9918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 1 ∈ ℝ
172		1lt3 11073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 1 < 3
173	171, 172	ltneii 10029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ 1 ≠ 3
174	173	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((#‘𝐹) = 4 → 1 ≠ 3)
175	164, 170, 174	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((#‘𝐹) = 4 → (1 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 3 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 3))
176	175	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(#‘𝐹)) = (0..^4)) → (1 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 3 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 3))
177	176	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ ((#‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(#‘𝐹)) = (0..^4))) → (1 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 3 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 3))
178		pthdivtx 40935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (1 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 3 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 3)) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3))
179	118, 177, 178	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ ((#‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(#‘𝐹)) = (0..^4))) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3))
180		eleq2 2677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((0..^(#‘𝐹)) = (0..^4) → (2 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ 2 ∈ (0..^4)))
181	120, 180	mpbiri 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((0..^(#‘𝐹)) = (0..^4) → 2 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
182	181	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(#‘𝐹)) = (0..^4)) → 2 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
183		pthdadjvtx 40936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ 2 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘(2 + 1)))
184	182, 183	syl3an3 1353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ ((#‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(#‘𝐹)) = (0..^4))) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘(2 + 1)))
185		df-3 10957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 3 = (2 + 1)
186	185	fveq2i 6106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃‘3) = (𝑃‘(2 + 1))
187	186	neeq2i 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3) ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘(2 + 1)))
188	184, 187	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ ((#‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(#‘𝐹)) = (0..^4))) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3))
189	160, 179, 188	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ ((#‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(#‘𝐹)) = (0..^4))) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3)))
190	149, 189	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ ((#‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(#‘𝐹)) = (0..^4))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘3)) ∧ ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3))))
191	100, 103, 104, 105, 190	syl112anc 1322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((#‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ (4 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑃:(0...4)⟶𝑉)) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘3)) ∧ ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3))))
192	191	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((#‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ (4 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑃:(0...4)⟶𝑉)) ∧ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘3)) ∧ ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3))))
193		preq2 4213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑐 = (𝑃‘2) → {(𝑃‘1), 𝑐} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
194	193	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑐 = (𝑃‘2) → ({(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸))
195	194	anbi2d 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 = (𝑃‘2) → (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ↔ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸)))
196		preq1 4212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑐 = (𝑃‘2) → {𝑐, 𝑑} = {(𝑃‘2), 𝑑})
197	196	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑐 = (𝑃‘2) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘2), 𝑑} ∈ 𝐸))
198	197	anbi1d 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 = (𝑃‘2) → (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸) ↔ ({(𝑃‘2), 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)))
199	195, 198	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑐 = (𝑃‘2) → ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ↔ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))))
200		neeq2 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑐 = (𝑃‘2) → ((𝑃‘0) ≠ 𝑐 ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
201	200	3anbi2d 1396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 = (𝑃‘2) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑)))
202		neeq2 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑐 = (𝑃‘2) → ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
203		neeq1 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑐 = (𝑃‘2) → (𝑐 ≠ 𝑑 ↔ (𝑃‘2) ≠ 𝑑))
204	202, 203	3anbi13d 1393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 = (𝑃‘2) → (((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) ↔ ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑 ∧ (𝑃‘2) ≠ 𝑑)))
205	201, 204	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑐 = (𝑃‘2) → ((((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑 ∧ (𝑃‘2) ≠ 𝑑))))
206	199, 205	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑐 = (𝑃‘2) → (((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) ↔ ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑 ∧ (𝑃‘2) ≠ 𝑑)))))
207		preq2 4213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑑 = (𝑃‘3) → {(𝑃‘2), 𝑑} = {(𝑃‘2), (𝑃‘3)})
208	207	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑑 = (𝑃‘3) → ({(𝑃‘2), 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸))
209		preq1 4212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑑 = (𝑃‘3) → {𝑑, (𝑃‘0)} = {(𝑃‘3), (𝑃‘0)})
210	209	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑑 = (𝑃‘3) → ({𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))
211	208, 210	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑑 = (𝑃‘3) → (({(𝑃‘2), 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸) ↔ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)))
212	211	anbi2d 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑑 = (𝑃‘3) → ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ↔ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))))
213		neeq2 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑑 = (𝑃‘3) → ((𝑃‘0) ≠ 𝑑 ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘3)))
214	213	3anbi3d 1397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑑 = (𝑃‘3) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘3))))
215		neeq2 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑑 = (𝑃‘3) → ((𝑃‘1) ≠ 𝑑 ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3)))
216		neeq2 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑑 = (𝑃‘3) → ((𝑃‘2) ≠ 𝑑 ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3)))
217	215, 216	3anbi23d 1394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑑 = (𝑃‘3) → (((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑 ∧ (𝑃‘2) ≠ 𝑑) ↔ ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3))))
218	214, 217	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑑 = (𝑃‘3) → ((((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑 ∧ (𝑃‘2) ≠ 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘3)) ∧ ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3)))))
219	212, 218	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑑 = (𝑃‘3) → (((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑 ∧ (𝑃‘2) ≠ 𝑑))) ↔ ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘3)) ∧ ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3))))))
220	206, 219	rspc2ev 3295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘3) ∈ 𝑉 ∧ ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘3)) ∧ ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3))))) → ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))))
221	90, 98, 99, 192, 220	syl112anc 1322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((#‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ (4 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑃:(0...4)⟶𝑉)) ∧ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))) → ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))))
222	74, 82, 221	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((#‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ (4 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑃:(0...4)⟶𝑉)) ∧ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))))
223	222	exp31 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((#‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) → ((4 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑃:(0...4)⟶𝑉) → ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))))))
224	58, 65, 223	mp2and 711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((#‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) → ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))))))
225	224	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((#‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘4)) → ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))))))
226	56, 225	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((#‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘4)) → ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸)) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))))))
227	226	exp31 628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝐹) = 4 → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘4) → ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸)) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))))))))
228	227	imp4c 615	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝐹) = 4 → (((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘4)) ∧ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸))) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))))))
229		preq1 4212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 = (𝑃‘0) → {𝑎, 𝑏} = {(𝑃‘0), 𝑏})
230	229	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = (𝑃‘0) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘0), 𝑏} ∈ 𝐸))
231	230	anbi1d 737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑃‘0) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ↔ ({(𝑃‘0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸)))
232		preq2 4213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 = (𝑃‘0) → {𝑑, 𝑎} = {𝑑, (𝑃‘0)})
233	232	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = (𝑃‘0) → ({𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸 ↔ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))
234	233	anbi2d 736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑃‘0) → (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)))
235	231, 234	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑃‘0) → ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ↔ (({(𝑃‘0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))))
236		neeq1 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = (𝑃‘0) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (𝑃‘0) ≠ 𝑏))
237		neeq1 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = (𝑃‘0) → (𝑎 ≠ 𝑐 ↔ (𝑃‘0) ≠ 𝑐))
238		neeq1 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = (𝑃‘0) → (𝑎 ≠ 𝑑 ↔ (𝑃‘0) ≠ 𝑑))
239	236, 237, 238	3anbi123d 1391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑃‘0) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ↔ ((𝑃‘0) ≠ 𝑏 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑)))
240	239	anbi1d 737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑃‘0) → (((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) ≠ 𝑏 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))))
241	235, 240	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑃‘0) → (((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) ↔ ((({(𝑃‘0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ 𝑏 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))))
242	241	2rexbidv 3039	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑃‘0) → (∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((({(𝑃‘0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ 𝑏 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))))
243		preq2 4213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = (𝑃‘1) → {(𝑃‘0), 𝑏} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
244	243	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = (𝑃‘1) → ({(𝑃‘0), 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸))
245		preq1 4212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = (𝑃‘1) → {𝑏, 𝑐} = {(𝑃‘1), 𝑐})
246	245	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = (𝑃‘1) → ({𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸))
247	244, 246	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = (𝑃‘1) → (({(𝑃‘0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ↔ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸)))
248	247	anbi1d 737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = (𝑃‘1) → ((({(𝑃‘0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ↔ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))))
249		neeq2 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = (𝑃‘1) → ((𝑃‘0) ≠ 𝑏 ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
250	249	3anbi1d 1395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = (𝑃‘1) → (((𝑃‘0) ≠ 𝑏 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑)))
251		neeq1 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = (𝑃‘1) → (𝑏 ≠ 𝑐 ↔ (𝑃‘1) ≠ 𝑐))
252		neeq1 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = (𝑃‘1) → (𝑏 ≠ 𝑑 ↔ (𝑃‘1) ≠ 𝑑))
253	251, 252	3anbi12d 1392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = (𝑃‘1) → ((𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) ↔ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))
254	250, 253	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = (𝑃‘1) → ((((𝑃‘0) ≠ 𝑏 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))))
255	248, 254	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = (𝑃‘1) → (((({(𝑃‘0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ 𝑏 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) ↔ ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))))
256	255	2rexbidv 3039	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = (𝑃‘1) → (∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((({(𝑃‘0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ 𝑏 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))))
257	242, 256	rspc2ev 3295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))))
258	228, 257	syl6 34	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝐹) = 4 → (((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘4)) ∧ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸))) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))))
259	50, 258	sylbid 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝐹) = 4 → (((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))))
260	259	expd 451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝐹) = 4 → ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))))))
261	260	com13 86	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 → ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → ((#‘𝐹) = 4 → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))))))
262	4, 261	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃) → ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → ((#‘𝐹) = 4 → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))))))
263	262	expcom 450	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ UPGraph → ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → ((#‘𝐹) = 4 → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))))))
264	263	com23 84	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝐺 ∈ UPGraph → ((#‘𝐹) = 4 → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))))))
265	264	expd 451	. . . . 5 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝐺 ∈ UPGraph → ((#‘𝐹) = 4 → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))))))))
266	2, 265	mpcom 37	. . . 4 ⊢ (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝐺 ∈ UPGraph → ((#‘𝐹) = 4 → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))))))
267	266	imp 444	. . 3 ⊢ ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝐺 ∈ UPGraph → ((#‘𝐹) = 4 → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))))))
268	1, 267	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹(CycleS‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ UPGraph → ((#‘𝐹) = 4 → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))))))
269	268	3imp21 1269	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(CycleS‘𝐺)𝑃 ∧ (#‘𝐹) = 4) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ≠ wne 2780 ∀wral 2896 ∃wrex 2897 ∪ cun 3538 {cpr 4127 class class class wbr 4583 ⟶wf 5800 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 < clt 9953 ≤ cle 9954 ℕcn 10897 2c2 10947 3c3 10948 4c4 10949 ℕ₀cn0 11169 ...cfz 12197 ..^cfzo 12334 #chash 12979 Vtxcvtx 25673 UPGraph cupgr 25747 Edgcedga 25792 1Walksc1wlks 40796 PathScpths 40919 CycleSccycls 40991

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-ifp 1007 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-2o 7448 df-oadd 7451 df-er 7629 df-map 7746 df-pm 7747 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-card 8648 df-cda 8873 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-4 10958 df-n0 11170 df-z 11255 df-uz 11564 df-fz 12198 df-fzo 12335 df-hash 12980 df-word 13154 df-uhgr 25724 df-upgr 25749 df-edga 25793 df-1wlks 40800 df-wlks 40801 df-trls 40901 df-pths 40923 df-cycls 40993

This theorem is referenced by: n4cyclfrgr 41461

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