Theorem ltneii 10029

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 10028	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 2836	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ℝcr 9814   < clt 9953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958

This theorem is referenced by:  1ne2  11117  f1oun2prg  13512  geo2sum  14443  3dvds  14890  3dvdsOLD  14891  slotsbhcdif  15903  oppchomfval  16197  oppcbas  16201  rescbas  16312  rescabs  16316  odubas  16956  opprlem  18451  srasca  19002  sravsca  19003  opsrbaslem  19298  opsrbaslemOLD  19299  zlmlem  19684  zlmsca  19688  znbaslem  19705  znbaslemOLD  19706  thlbas  19859  thlle  19860  matbas  20038  matplusg  20039  tuslem  21881  setsmsbas  22090  tnglem  22254  ppiub  24729  2lgslem3  24929  2lgslem4  24931  ttgval  25555  ttglem  25556  slotsbaseefdif  25672  structiedg0val  25699  usgraexmpldifpr  25928  constr3lem4  26175  constr3trllem3  26180  konigsberg  26514  ex-dif  26672  ex-id  26683  ex-fv  26692  ex-mod  26698  resvbas  29163  resvplusg  29164  resvmulr  29166  hlhilslem  36248  rabren3dioph  36397  xrlexaddrp  38509  fourierdlem102  39101  fourierdlem114  39113  fouriersw  39124  nnsum4primesodd  40212  nnsum4primesoddALTV  40213  upgr4cycl4dv4e  41352  konigsbergiedgw  41416  konigsberglem3  41424  konigsberglem5  41426  plusgndxnmulrndx  41743  basendxnmulrndx  41744  zlmodzxznm  42080  2p2ne5  42353