Theorem sqr2irrlem 14816

Description: Lemma for irrationality of square root of 2. The core of the proof - if 𝐴 / 𝐵 = √(2), then 𝐴 and 𝐵 are even, so 𝐴 / 2 and 𝐵 / 2 are smaller representatives, which is absurd by the method of infinite descent (here implemented by strong induction). This is Metamath 100 proof #1. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqr2irrlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
sqr2irrlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
sqrt2irrlem.3	⊢ (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
sqr2irrlem	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem sqr2irrlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 10968	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		sqrtth 13952	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℂ → ((√‘2)↑2) = 2)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((√‘2)↑2) = 2
4		sqrt2irrlem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))
5	4	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((√‘2)↑2) = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
6	3, 5	syl5eqr 2658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
7		sqr2irrlem.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 11359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
9		sqr2irrlem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
10	9	nncnd 10913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
11	9	nnne0d 10942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
12	8, 10, 11	sqdivd 12883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
13	6, 12	eqtrd 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
14	13	oveq1d 6564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)))
15	8	sqcld 12868	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
16	9	nnsqcld 12891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
17	16	nncnd 10913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
18	16	nnne0d 10942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ≠ 0)
19	15, 17, 18	divcan1d 10681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
20	14, 19	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
21	20	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = ((𝐴↑2) / 2))
22	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
23		2ne0 10990	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
25	17, 22, 24	divcan3d 10685	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = (𝐵↑2))
26	21, 25	eqtr3d 2646	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) = (𝐵↑2))
27	26, 16	eqeltrd 2688	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℕ)
28	27	nnzd 11357	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ)
29		zesq 12849	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
30	7, 29	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
31	28, 30	mpbird 246	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ)
32	1	sqvali 12805	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑2) = (2 · 2)
33	32	oveq2i 6560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑2) / (2↑2)) = ((𝐴↑2) / (2 · 2))
34	8, 22, 24	sqdivd 12883	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐴↑2) / (2↑2)))
35	15, 22, 22, 24, 24	divdiv1d 10711	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐴↑2) / (2 · 2)))
36	33, 34, 35	3eqtr4a 2670	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = (((𝐴↑2) / 2) / 2))
37	26	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐵↑2) / 2))
38	36, 37	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐵↑2) / 2))
39		zsqcl 12796	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℤ → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
40	31, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
41	38, 40	eqeltrrd 2689	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ)
42	16	nnrpd 11746	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ+)
43	42	rphalfcld 11760	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℝ+)
44	43	rpgt0d 11751	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐵↑2) / 2))
45		elnnz 11264	. . . 4 ⊢ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝐵↑2) / 2)))
46	41, 44, 45	sylanbrc 695	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ)
47		nnesq 12850	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
48	9, 47	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
49	46, 48	mpbird 246	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
50	31, 49	jca 553	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   · cmul 9820   < clt 9953   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℤcz 11254  ↑cexp 12722  √csqrt 13821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824

This theorem is referenced by:  sqrt2irr  14817