Theorem 2cn 10968

Description: The number 2 is a complex number. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2cn	⊢ 2 ∈ ℂ

Proof of Theorem 2cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 10967	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	recni 9931	1 ⊢ 2 ∈ ℂ

Syntax hints:   ∈ wcel 1977  ℂcc 9813  2c2 10947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-iota 5768  df-fv 5812  df-ov 6552  df-2 10956

This theorem is referenced by:  2ex  10969  2cnd  10970  2m1e1  11012  3m1e2  11014  2p2e4  11021  times2  11023  2div2e1  11027  1p2e3  11029  3p3e6  11038  4p3e7  11040  5p3e8  11043  6p3e9  11047  7p3e10OLD  11050  2t1e2  11053  2t2e4  11054  3t3e9  11057  2t0e0  11060  4d2e2  11061  2cnne0  11119  halfcn  11124  1mhlfehlf  11128  8th4div3  11129  halfpm6th  11130  2mulicn  11132  2muline0  11133  halfcl  11134  half0  11136  2halves  11137  halfaddsub  11142  div4p1lem1div2  11164  3halfnz  11332  zneo  11336  nneo  11337  zeo  11339  7p3e10  11479  4t4e16  11509  6t3e18  11518  7t7e49  11529  8t5e40  11533  8t5e40OLD  11534  9t9e81  11546  decbin0  11558  decbin2  11559  halfthird  11561  fztpval  12272  fz0tp  12309  fz0to4untppr  12311  fzo0to3tp  12421  fzo1to4tp  12423  expubnd  12783  sq2  12822  sq4e2t8  12824  cu2  12825  subsq2  12835  binom2sub  12843  binom3  12847  zesq  12849  fac2  12928  fac3  12929  faclbnd2  12940  faclbnd4lem1  12942  faclbnd4lem3  12944  faclbnd4lem4  12945  faclbnd5  12947  bcn2  12968  4bc2eq6  12978  swrd2lsw  13543  crre  13702  addcj  13736  imval2  13739  sqrlem7  13837  absmax  13917  rddif  13928  sqreulem  13947  amgm2  13957  abs3lemi  13997  iseraltlem2  14261  ackbijnn  14399  climcndslem1  14420  climcndslem2  14421  arisum  14431  arisum2  14432  geo2sum2  14444  geo2lim  14445  geoihalfsum  14453  bpoly2  14627  bpoly3  14628  bpoly4  14629  fsumcube  14630  efcllem  14647  ege2le3  14659  efgt0  14672  tanval2  14702  tanval3  14703  efi4p  14706  efival  14721  sinadd  14733  cosadd  14734  sinmul  14741  cos2tsin  14748  ef01bndlem  14753  cos01bnd  14755  cos1bnd  14756  cos2bnd  14757  cos01gt0  14760  sin02gt0  14761  sin4lt0  14764  znnenlem  14779  sqr2irrlem  14816  odd2np1lem  14902  odd2np1  14903  opoe  14925  omoe  14926  opeo  14927  omeo  14928  nno  14936  nn0o  14937  flodddiv4  14975  bits0  14988  bitsfzolem  14994  0bits  14999  bitsinv1  15002  sadcadd  15018  smumullem  15052  6gcd4e2  15093  3lcm2e6woprm  15166  6lcm4e12  15167  pythagtriplem1  15359  pythagtriplem12  15369  pythagtriplem14  15371  pythagtriplem15  15372  pythagtriplem16  15373  pythagtriplem17  15374  iserodd  15378  prmreclem5  15462  prmreclem6  15463  4sqlem11  15497  4sqlem12  15498  prmo2  15582  prmo3  15583  dec5dvds  15606  dec2nprm  15609  decexp2  15617  2exp6  15633  2exp8  15634  2exp16  15635  7prm  15655  11prm  15660  13prm  15661  37prm  15666  43prm  15667  83prm  15668  139prm  15669  163prm  15670  317prm  15671  631prm  15672  1259lem1  15676  1259lem2  15677  1259lem3  15678  1259lem4  15679  1259lem5  15680  1259prm  15681  2503lem1  15682  2503lem2  15683  2503lem3  15684  4001lem1  15686  4001lem2  15687  4001lem3  15688  4001lem4  15689  4001prm  15690  psgnunilem2  17738  efgtlen  17962  efgredleme  17979  frgpnabllem1  18099  lt6abl  18119  htpycc  22587  pcoval2  22624  pcocn  22625  pcohtpylem  22627  pcopt  22630  pcopt2  22631  pcoass  22632  pcorevlem  22634  csbren  22990  minveclem2  23005  ovolunlem1a  23071  ovolunlem1  23072  vitalilem4  23186  mbfi1fseqlem5  23292  dvmptre  23538  dvsincos  23548  aaliou3lem2  23902  aaliou3lem3  23903  aaliou3lem8  23904  coscn  24003  sinhalfpilem  24019  cospi  24028  ef2pi  24033  ef2kpi  24034  efper  24035  sinperlem  24036  sin2kpi  24039  cos2kpi  24040  sin2pim  24041  cos2pim  24042  sinhalfpip  24048  sinhalfpim  24049  coshalfpip  24050  coshalfpim  24051  sincosq3sgn  24056  sincosq4sgn  24057  tangtx  24061  sinq12gt0  24063  sincosq1eq  24068  sincos4thpi  24069  sincos6thpi  24071  sincos3rdpi  24072  pige3  24073  abssinper  24074  coskpi  24076  sineq0  24077  coseq1  24078  efeq1  24079  efif1olem4  24095  eflogeq  24152  tanarg  24169  cxpsqrtlem  24248  cxpsqrt  24249  logsqrt  24250  root1eq1  24296  cxpeq  24298  ang180lem2  24340  ang180lem3  24341  quad2  24366  1cubrlem  24368  1cubr  24369  dcubic2  24371  dcubic1  24372  dcubic  24373  mcubic  24374  cubic2  24375  cubic  24376  dquartlem1  24378  dquartlem2  24379  dquart  24380  quart1lem  24382  quart1  24383  quartlem1  24384  quartlem2  24385  quartlem3  24386  quart  24388  sinasin  24416  asinsin  24419  atancj  24437  efiatan  24439  efiatan2  24444  2efiatan  24445  tanatan  24446  atantan  24450  atanbndlem  24452  atans2  24458  dvatan  24462  atantayl2  24465  leibpilem1  24467  leibpilem2  24468  log2cnv  24471  log2tlbnd  24472  log2ublem2  24474  log2ublem3  24475  log2ub  24476  birthday  24481  zetacvg  24541  basellem1  24607  basellem3  24609  basellem8  24614  basellem9  24615  cht3  24699  1sgm2ppw  24725  ppiub  24729  chtublem  24736  chtub  24737  perfect1  24753  perfectlem1  24754  perfectlem2  24755  perfect  24756  bcmax  24803  bcp1ctr  24804  bclbnd  24805  bpos1lem  24807  bpos1  24808  bposlem1  24809  bposlem2  24810  bposlem4  24812  bposlem5  24813  bposlem6  24814  bposlem8  24816  bposlem9  24817  lgsdir2lem2  24851  gausslemma2dlem6  24897  lgsquadlem1  24905  lgsquadlem2  24906  lgsquad2lem2  24910  m1lgs  24913  2lgslem3a  24921  2lgslem3b  24922  2lgslem3c  24923  2lgslem3d  24924  2lgsoddprmlem2  24934  2lgsoddprmlem3c  24937  2lgsoddprmlem3d  24938  rplogsumlem1  24973  dchrisum0fno1  25000  dchrisum0lem1  25005  dchrisum0lem2  25007  logdivsum  25022  mulog2sumlem3  25025  log2sumbnd  25033  selberglem1  25034  selberglem2  25035  selberg2  25040  selberg4lem1  25049  selberg3r  25058  pntpbnd1a  25074  pntpbnd2  25076  pntibndlem2  25080  pntlemk  25095  ax5seglem7  25615  axlowdimlem13  25634  wlkdvspthlem  26137  clwlkisclwwlklem2a4  26312  numclwwlkovf2ex  26613  ex-fl  26696  ex-ceil  26697  ex-exp  26699  ex-fac  26700  ex-abs  26704  ex-ind-dvds  26710  ipidsq  26949  cncph  27058  ip0i  27064  ip1ilem  27065  ipdirilem  27068  minvecolem2  27115  hvsubcan2i  27305  norm-ii-i  27378  norm3lem  27390  normpar2i  27397  polid2i  27398  hhph  27419  mayete3i  27971  nmcexi  28269  opsqrlem6  28388  addltmulALT  28689  omssubadd  29689  oddpwdc  29743  fib5  29794  ballotlem2  29877  ballotth  29926  problem4  30816  problem5  30817  quad3  30818  cnndvlem1  31698  sin2h  32569  cos2h  32570  tan2h  32571  poimirlem29  32608  mblfinlem1  32616  mblfinlem2  32617  mblfinlem3  32618  itg2addnclem3  32633  dvasin  32666  areacirc  32675  heiborlem6  32785  rmxluc  36519  rmyluc  36520  jm2.17a  36545  jm2.18  36573  jm2.23  36581  jm3.1lem1  36602  proot1ex  36798  areaquad  36821  lhe4.4ex1a  37550  sineq0ALT  38195  coskpi2  38749  cosnegpi  38750  cosknegpi  38752  stoweidlem26  38919  wallispilem4  38961  wallispi  38963  wallispi2lem1  38964  stirlinglem8  38974  dirkerper  38989  dirkertrigeqlem3  38993  dirkertrigeq  38994  dirkeritg  38995  dirkercncflem1  38996  dirkercncflem2  38997  fourierdlem57  39056  fourierdlem58  39057  fourierdlem62  39061  fourierdlem76  39075  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  sqwvfourb  39122  fourierswlem  39123  fmtnoge3  39980  fmtnorec1  39987  fmtno0  39990  fmtno1  39991  fmtnorec3  39998  fmtnorec4  39999  fmtno5lem2  40004  fmtno5lem4  40006  257prm  40011  fmtnoprmfac2lem1  40016  fmtno4prmfac  40022  fmtno5faclem2  40030  fmtno5faclem3  40031  fmtno5fac  40032  2exp5  40045  139prmALT  40049  31prm  40050  2exp7  40052  127prm  40053  2exp11  40055  mod42tp1mod8  40057  lighneallem2  40061  lighneallem3  40062  lighneallem4a  40063  3exp4mod41  40071  41prothprmlem1  40072  41prothprmlem2  40073  41prothprm  40074  bits0ALTV  40128  0evenALTV  40137  6even  40158  8even  40160  perfectALTVlem1  40164  perfectALTVlem2  40165  perfectALTV  40166  nnsum3primes4  40204  bgoldbtbndlem1  40221  elwspths2spth  41171  clwlkclwwlklem2a4  41206  av-numclwwlkovf2ex  41517  0nodd  41600  0even  41721  2even  41723  2zrngamgm  41729  2t6m3t4e0  41919  linevalexample  41978  zlmodzxzequap  42082  pw2m1lepw2m1  42104  nnlog2ge0lt1  42158  logbpw2m1  42159  nnpw2blen  42172  nnpw2pmod  42175  blen1  42176  blen2  42177  blennnt2  42181  nnolog2flm1  42182  0dig2nn0e  42204  0dig2nn0o  42205  nn0sumshdiglemA  42211  nn0sumshdiglemB  42212  nn0sumshdiglem1  42213  nn0sumshdiglem2  42214  sinhpcosh  42280