Theorem rrndistlt 39186

Description: Given two points in the space of n-dimensional real numbers, if every component is closer than 𝐸 then the distance between the two points is less then ((√‘𝑛) · 𝐸) (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrndistlt.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
rrndistlt.z	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ ∅)
rrndistlt.n	⊢ 𝑁 = (#‘𝐼)
rrndistlt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
rrndistlt.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
rrndistlt.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) < 𝐸)
rrndistlt.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
rrndistlt.d	⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))

Assertion

Ref	Expression
rrndistlt	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < ((√‘𝑁) · 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem rrndistlt

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrndistlt.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
2		rrndistlt.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ ∅)
3		rrndistlt.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
4		elmapi 7765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶ℝ)
6		ax-resscn 9872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
8	5, 7	fssd 5970	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
9	8	ffvelrnda 6267	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑖) ∈ ℂ)
10		rrndistlt.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
11		elmapi 7765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑌:𝐼⟶ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐼⟶ℝ)
13	12, 7	fssd 5970	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
14	13	ffvelrnda 6267	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑖) ∈ ℂ)
15	9, 14	subcld 10271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)) ∈ ℂ)
16	15	abscld 14023	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) ∈ ℝ)
17	16	resqcld 12897	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) ∈ ℝ)
18		rrndistlt.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
19	18	rpred 11748	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
20	19	resqcld 12897	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
22		rrndistlt.l	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) < 𝐸)
23	15	absge0d 14031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))))
24	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ)
25	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ+)
26	25	rpge0d 11752	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 0 ≤ 𝐸)
27		lt2sq 12799	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸)) → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) < 𝐸 ↔ ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) < (𝐸↑2)))
28	16, 23, 24, 26, 27	syl22anc 1319	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) < 𝐸 ↔ ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) < (𝐸↑2)))
29	22, 28	mpbid 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) < (𝐸↑2))
30	1, 2, 17, 21, 29	fsumlt 14373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝐼 ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) < Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2))
31	5	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑖) ∈ ℝ)
32	12	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑖) ∈ ℝ)
33	31, 32	resubcld 10337	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)) ∈ ℝ)
34		absresq 13890	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)) ∈ ℝ → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) = (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) = (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
36	35	eqcomd 2616	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) = ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2))
37	36	sumeq2dv 14281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ 𝐼 ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2))
38	6, 20	sseldi 3566	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
39		fsumconst 14364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐸↑2) ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2) = ((#‘𝐼) · (𝐸↑2)))
40	1, 38, 39	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2) = ((#‘𝐼) · (𝐸↑2)))
41		rrndistlt.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (#‘𝐼)
42		eqcom 2617	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (#‘𝐼) ↔ (#‘𝐼) = 𝑁)
43	41, 42	mpbi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (#‘𝐼) = 𝑁
44	43	oveq1i 6559	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝐼) · (𝐸↑2)) = (𝑁 · (𝐸↑2))
45	44	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐼) · (𝐸↑2)) = (𝑁 · (𝐸↑2)))
46	40, 45	eqtr2d 2645	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝐸↑2)) = Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2))
47	37, 46	breq12d 4596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) < (𝑁 · (𝐸↑2)) ↔ Σ𝑖 ∈ 𝐼 ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) < Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2)))
48	30, 47	mpbird 246	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) < (𝑁 · (𝐸↑2)))
49		nfv 1830	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
50	33	resqcld 12897	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
51	49, 1, 50	fsumreclf 38643	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
52	33	sqge0d 12898	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
53	1, 50, 52	fsumge0 14368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
54		hashcl 13009	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (#‘𝐼) ∈ ℕ0)
55	1, 54	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐼) ∈ ℕ0)
56	41, 55	syl5eqel 2692	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
57	56	nn0red 11229	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
58	57, 20	remulcld 9949	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝐸↑2)) ∈ ℝ)
59	56	nn0ge0d 11231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
60	19	sqge0d 12898	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐸↑2))
61	57, 20, 59, 60	mulge0d 10483	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 · (𝐸↑2)))
62	51, 53, 58, 61	sqrtltd 14014	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) < (𝑁 · (𝐸↑2)) ↔ (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)) < (√‘(𝑁 · (𝐸↑2)))))
63	48, 62	mpbid 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)) < (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))))
64		rrndistlt.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
65	64	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
66		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
67		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ↑𝑚 𝐼) = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
68	66, 67	rrxdsfi 39181	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2))))
69	1, 68	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2))))
70	65, 69	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2))))
71		fveq1 6102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑋 → (𝑓‘𝑖) = (𝑋‘𝑖))
72	71	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → (𝑓‘𝑖) = (𝑋‘𝑖))
73		fveq1 6102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝑌 → (𝑔‘𝑖) = (𝑌‘𝑖))
74	73	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → (𝑔‘𝑖) = (𝑌‘𝑖))
75	72, 74	oveq12d 6567	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → ((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖)) = ((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))
76	75	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2) = (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
77	76	sumeq2ad 38632	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
78	77	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2)) = (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)))
79	78	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌)) → (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2)) = (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)))
80	51, 53	resqrtcld 14004	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
81	70, 79, 3, 10, 80	ovmpt2d 6686	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) = (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)))
82		sqrtmul 13848	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ ((𝐸↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐸↑2))) → (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))) = ((√‘𝑁) · (√‘(𝐸↑2))))
83	57, 59, 20, 60, 82	syl22anc 1319	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))) = ((√‘𝑁) · (√‘(𝐸↑2))))
84	18	rpge0d 11752	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
85	19, 84	sqrtsqd 14006	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝐸↑2)) = 𝐸)
86	85	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑁) · (√‘(𝐸↑2))) = ((√‘𝑁) · 𝐸))
87	83, 86	eqtr2d 2645	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑁) · 𝐸) = (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))))
88	81, 87	breq12d 4596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐷𝑌) < ((√‘𝑁) · 𝐸) ↔ (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)) < (√‘(𝑁 · (𝐸↑2)))))
89	63, 88	mpbird 246	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < ((√‘𝑁) · 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551   ↑_𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ℝ⁺crp 11708  ↑cexp 12722  #chash 12979  √csqrt 13821  abscabs 13822  Σcsu 14264  distcds 15777  ℝ^crrx 22979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-field 18573  df-subrg 18601  df-staf 18668  df-srng 18669  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-cnfld 19568  df-refld 19770  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-nm 22197  df-tng 22199  df-tch 22777  df-rrx 22981

This theorem is referenced by:  qndenserrnbllem  39190